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高校数学 答えがなくて困ってます! 前半

底面の半径が r、高さが h の円錐があり、そこに半径 5 の球が内接しているとする。 ただし、h>10 とする。 (1)この円錐の底面の半径 r を h を用いて表せ。 (2)この円錐の表面積を最小にする h の値を求めよ。 説明はざっとでいいので、回答いただけると助かります m(_ _)m

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みんなの回答

  • 回答No.4
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1) 三平方の定理を用いて (h-5)^2=5^2+(5h/r)^2 これをrについて解けば  r=5h/√{(h-5)^2-5^2}=5h/√{h(h-10)}=5√{h/(h-10)} ...(答え) (2) 表面積S=底面積+側面積より  S=πr^2+π(h^2+r^2)(r/√(h^2+r^2))=πr^2+πr√(h^2+r^2)) (1)のrを代入して  S=π25h/(h-10) + π5√{h/(h-10)}√{h^2+25h/(h-10)}   =25πh/(h-10) + 5π{h/(h-10)}√{h(h-10)+25}   =25πh/(h-10) + 5π{h/(h-10)}(h-5)   =5πh^2/(h-10)  dS/dh=5πh(h-20)/(h-10)^2 10<h<20で dS/dh<0,Sは減少関数。20<hで dS/dh>0,Sは増加関数 h=20で極小となり極小値S=5π20^2/(20-10)=200πをとる。 条件h>10の範囲で他に極大値や極小値が存在しないのでこの極小値S=200πが最小値となる。 (答え)h=20

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  • 回答No.3

おっと、ミスがあった。 ”それの半径hの完全円の円周に対する割合”の”半径h”は”半径√(h^2+r^2)”の間違いでした。

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  • 回答No.2

Typoの訂正。 も貯めることができるる。-> 求めることができる。 そこまでいけば、半径(1)から -> そこまでいけば、問題(1)の回答から

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  • 回答No.1

ヒントだけ。 (1)は円錐と考えるから話が難しくなる。円錐ではなく円錐を頂点から真下にスパッと切った時にできる断面に現れる二等辺三角形とそれに内接する円と考えればわかりやすくなる。その中に相似の関係にある直角三角形を2つ見つければ、相似比からrとhの関係がわかる。 (2)は円錐を展開すると、底辺の円と側面の扇形になる。底辺の円の面積はrで表される。側面の扇形については、弧の長さは底辺円の円周に等しいことからrで表され、それの半径hの完全円の円周に対する割合から、扇形の面積はrとhをつかっても貯めることができるる。そこまでいけば、半径(1)からrとhの関係がわかっているから、表面積をhのみで表せることになる。あとは最小になる条件を探せばよい。 言葉での説明はちょっとわかりにくいかもしれないが、図を書いてみるとわかりやすいと思います。

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