微分、球と円錐の体積の最小値の問題

質問

問：頂点がz軸上にあり、底面がxy平面上の原点を中心とする円である直円錐がある。この円錐の側面が原点を中心とする半径1の球に接しているとき、この円錐の体積の最小値を求めよ。

答：(√3)π/2

問題集の解説：
円錐の底面の半径をr,高さをhとおくと、側面が半径1の球と接するから、{√(r*r-h*h)}=rh ・・・(1)　より
　　　r*r=(h*h)/(h*h-1) (1＜h)
体積をVとおくと
　V=(π*r*r*h)/3=(π*h*h*h)/3(h*h-1)
であるから
(π/3)*(1/V)=(1/h)-(1/h*h*h)
f(x)=x-x*x*x (0＜x＜1)・・・(2)の増減を調べると、
f(x)は0＜x＜1で正の値をとり、x=1/√3　のとき最大値(2√3)/9をとるからVは、h=√3のとき最小値をとる。

質問：
１．何故、(1)が成り立つのでしょうか？
２．(2)が何を表しているのかがよくわかりません。(2)以降よくわからないので、解説お願いします。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

頂点をＡ、原点をＯ、円錐の円周上にある点をＢ、接点をＴとします。

ここで、
△ＡＢＯ＝1/2*BO*AO＝1/2*rh
また、線分ＡＢを底辺とすると
△ＡＢＯ＝1/2*AB*TO=1/2*√(r*r+h*h) *1 （円錐は点Ｔで半径１の球に接しているため）
よって、
√(r*r+h*h)=rh が成り立ちます（(1)は微妙に違います)

２．
(π/3)*(1/V)=(1/h)-(1/h*h*h)
で、1/h=xとおくと
(π/3)*(1/V)=(1/h)-(1/h*h*h)=x-x^3
になり、1<hより、0<1/h<1です。
また、(π/3)*(1/V)=x-x^3
より、x-x^3最大→Vが最小となります
よって、
f(x)=x-x^3として0＜x＜1におけるf(x)の増減を調べて、f(x)が最大となる時を探せばいいわけです。

ちなみにr*r=r^2
x*x*x=x^3
と書いてください

お礼

よくわかりました。
ありがとうございます。