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円錐の数学の問題の解答・解放を教えてください。
底面の半径が3cm、母線の長さが5cmの円錐の中に半径の等しい2つの球P,Qがある。2つの球P,Qは互いに接し、円錐の底面と側面に接しているとき、以下の問いに答えよ。ただし、2つの球の中心と、円錐の頂点と、円錐の底面の中心は同一平面上にあるものとする。 1)球Pの半径を求めよ。 2)円錐の体積は、球Pの体積の何倍か? 3)球Pと円錐の側面が接する点をAとする。点Aを通り、円錐の底面に平行な平面で球Pを切断する時、球Pの切断面の面積を求めよ。 4)設問の円錐の中に、球Pと半径が異なる球Rを次のように入れる。3つの球は互いに接し、球Rは円錐の側面に接している。3つの球の中心と円錐の頂点が同一平面上にある時、球Rの半径を求めよ。
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1) 球P（球Q）の半径をpとする。 三平方の定理より、OD = 4 OP = 4 - 3p △ODC ∽ △OAP AP : OP = p : (4 - 3p) = 3 : 5 5p = 12 - 9p p = 6/7 2) 円錐の体積 = (1/3) * π * 3^2 * 4 = 12π 球Pの体積 = (4/3) * π * (6/7)^3 = 288π/343 ∴12π / (288π/343) = 343/24倍 3) AB : AP = AB : 6/7 = 4 : 5 AB = 24/35 ∴求める断面積 = 576π/1225 4) OQ = 4 - 6/7 = 22/7 HQ = (22/7) * (3/5) = 66/35 = p + 2r = 6/7 + 2r ∴球Rの半径r = 18/35
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