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2等辺三角形に内接する円の面積と底辺

  • 質問No.9493734
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お礼率 94% (477/505)

AB=AC=1である2等辺三角形ABCに内接する円の面積を最大にする底辺の長さの求め方で、自分の解き方の間違いがわからないので質問します。
内接円の半径をr、底辺の長さをx(x>0)として、∠B=∠C=θ(0<θ<π/2)とおくと、3角形ABCの面積は2通りにあらわせ、△ABC=(1/2)*(1+1+x)*r,△ABC=(1/2)*1*x*sinθ
この2つからr=(x*sinθ)/(x+2)
内接円の面積は、π*r^2からr^2が最大のとき最大となる。f(x)=r^2={(x*sinθ)/(x+2)}^2
と置いて、f'(x)=sin^2θ*(4x/(x+2)^3)となり、0<θ<π/2からsin^2θ>0より、
4x/(x+2)^3=0を解こうとしてもx>0から4x/(x+2)^3>0となり、f'(x)=0となるxは求められません。
sinθを使ったのが計算間違いの理由かと思うのですが、定数として扱ってはいけない
理由がわかりません。どなたか間違いを指摘してください。

解説では、内接円の半径をr。底辺の長さを2xとして、3角形の3辺の条件から
|1-1|<2*x<1+1から0<x<1、 3角形ABCの面積の1つめは、(1/2)*√(1-x^2)*2xとし、2つめは(1/2)*(1+1+2x)*r,、2つからr={x*√(1-x^2)}/(1+x)を導き、
f(x)=r^2=(x^2-x^3)/(1+x)、f'(x)=-{2x*(x^2+x-1)}/(1+x)^2 、f'(x)=0となるxは0<x<1から
x=(√5-1)/2 あとは増減表を書いて、x=(√5-1)/2のとき面積は最大となる。
底辺のながさは2x=√5-1でした。

回答 (全6件)

  • 回答No.6

ベストアンサー率 39% (954/2399)

No.5です。補足(蛇足?)です。

1.内接円の半径rを角ABC(θ)で表す形は一つだけではありません。

r(θ)=cosθ・tan(θ/2)
   =(2cos^2(θ/2)-1){(sin(θ/2)/cos(θ/2)}
   =2cos(θ/2)sin(θ/2)-{(sin(θ/2)/cos(θ/2)}
   =sinθ-tan(θ/2)

コサインと半角のタンジェントとの積は、サインと半角のタンジェントの差になるということです。こちらの方が、微分の計算は少し楽かもしれません。もちろんこれは見かけの違いだけで、答えは同じになります。

2.タンジェントの半角ということで、tanθ/2=tとしたパラメータ表示で考えることもできます。
  tan(θ/2)=t とおくと、cosθ=(1-t^2)/(1+t^2) だから
  r(t)=t(1-t^2)/(1+t^2) tで微分すれば
r'(t)=-(t^4+4t^2-1)/(t^2+1)^2
r'(t)=0 として解くと、t^2=√5-2 以下は同様です。

3.この問題の図形的な意味を考えると興味深いものがあります。三角形の面積は(三角形の周長)×(内接円の半径)/2 ですから 内接円の半径は2×(面積/周長)です。つまりこの問題は、等辺の長さが1である2等辺三角形において、周長に対する面積の比が最大となる場合を求めていることになります。仮に周長が一定であれば、内接円の半径が最大=三角形の面積が最大で、正三角形のときであることは明らかですが、この問題では2等辺の長さは一定(1)であるものの底辺の長さxは不定で周長が変化します。

この問題では、内接円の半径が最大となる場合の底角θ≒51.8度ですから、底辺の長さが変えられる2等辺三角形においては、正三角形よりも少し押しつぶしたような三角形のところまでは、「周長の増加より面積の増加の方が効いている」ということです。なお、面積が最大となるのは、もちろん直角2等辺三角形となる場合で、面積は1/2、周長は(2+√2)なので内接円の半径は(√2-1)/2≒0.2929です。ちなみに正三角形では面積が√3/4、周長は3なので内接円の半径は√3/6≒0.2887です。(最大値は0.3002くらいです。)下の図でこの3つの場合を比較しています。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

図形的な意味を考えた解説、図を使った説明。いろいろありがとうございます。
投稿日時:2018/05/03 20:54
  • 回答No.5

ベストアンサー率 39% (954/2399)

xとθには関係があるので、どちらかにそろえる必要があります。
また質問者様の解法でもグラフ(図)を活用すると計算が楽です。

下の図のように座標軸を定め、角ABC=θ とします。
二等辺三角形が成立する条件より0<θ<90度です。
内接円の中心をDとすると、内心は三角形の角の2等分線の交点なので、
Dは角ABCの2等分線:Y=(tan(θ/2))(X+x/2)とY軸との交点です。

したがって内接円の半径をrとすると、r=(tan(θ/2))(x/2) 。
またx/2=cosθ より x=2cosθ だからこれを代入すれば
r=cosθ・(tan(θ/2)) で、これをr(θ)とすると、
r(θ)=cosθ・(tan(θ/2)) θで微分すると
r'(θ)=-sinθ・tan(θ/2)+cosθ・1/2cos^2(θ/2)
   =2cos^2(θ/2)-1-1/(2cos^2(θ/2))

r'(θ)=0 として変形すると、
4cos^4 (θ/2)-2cos^2(θ/2)-1=0 これをcos^2(θ/2)について解くと
cos^2(θ/2)=(1±√5)/4 cos^(θ/2)>0 (∵0<θ<90度)より
cos^2(θ/2)=(1+√5)/4 で、r'(θ)の正負からr(θ)の増減を考えると
このときr(θ)は最大値をとり、内接円の面積πr^2も最大となる
このときcosθ=2cos^2θ-1=(√5-1)/2 だからx=2cosθ=(√5-1)

なおこのときr=(√5-1)(√(√5-2))/2≒0.3002
(下の図はこの最大値に極めて近い状態)
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

tan(θ/2)が出てきて驚きました。数学の問題の解き方は、いろいろあると思いしらされました。お返事ありがとうございます。
投稿日時:2018/05/29 18:56
  • 回答No.4

ベストアンサー率 43% (732/1672)

再度、誤記あり。

△ABC = r+x(r/2) = r*{1+(x/2)} = r*(1+cosθ)
△ABC = sinθ*cos(θ)
   ↓ 等置
r = r(θ) = sinθ*cosθ/(1+cosθ)
 ↓
r'(θ)
= [ {cos^2(θ)-sin^2(θ)}*(1+cosθ) + sin^2(θ)*cos(θ) ] / (1+cosθ)^2
= [ {cos^2(θ)-sin^2(θ)} + cos^3(θ) ]/(1+cosθ)^2
  ↓ 分子
= {cos^2(θ)-sin^2(θ)} + cos^3(θ) = {2cos^2(θ)-1) + cos^3(θ) ]
  
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

詳細な計算ありがとうございます。
投稿日時:2018/05/03 20:40
  • 回答No.3

ベストアンサー率 43% (732/1672)

>底辺1高さrの3角形の面積r/2で、△ABC = r+x(r/2)だと思います。

当方の錯誤でした。

内接円の半径をr、底辺の長さをx(x>0)として、∠B=∠C=θ(0<θ<π/2)とおくと、3角形ABCの面積は2通りにあらわせ、
△ABC=(1/2)*(1+1+x)*r, △ABC=(1/2)*1*x*sinθ この2つからr=(x*sinθ)/(x+2)
△ABC = r+x(r/2) = r*{1+(x/2)} = r*(1+cosθ)
△ABC = sinθ*cos(θ)
   ↓ 等置
r = r(θ) = sinθ*cosθ/(1+cosθ)
 ↓
r'(θ)
= [ {cos^2(θ)-sin^2(θ)}*(1+cosθ) + sin^2(θ)*cos(θ) ] / (1+cosθ)^2
= [ {cos^2(θ)-sin^2(θ)} + cos^3(θ) ]/(1+cosθ)^2
  ↓ 分子
= {cos^2(θ)-sin^2(θ)} + cos^3(θ) = {2cos^2(θ)-1) + cos^3(θ) ]

u=cos(θ) とおくと、
  ↓ r'(θ) の零点
u^3+2u^2-1=0
u=0.618034
2u=1.236068
  
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

お返事くださり、ありがとうございます。
投稿日時:2018/05/03 20:41
  • 回答No.2

ベストアンサー率 43% (732/1672)

>自分の解き方…

   ↓ 一例でも…

△ABC = 2r+x(r/2) = r*{2+(x/2)} = r*(2+cosθ)
△ABC = sinθ*cosθ/2
   ↓ 等置
r = r(θ) = sinθ*cosθ/(4+2cosθ)   
 ↓
r'(θ)
= [ {cos^2(θ)-sin^2(θ)}*(4+2cosθ) + 2sin^2(θ)*cos(θ) ] / (4+2cosθ)^2
= [4{cos^2(θ)-sin^2(θ)} + 2cos^3(θ) ]/(2+cosθ)^2
  ↓ 分子
= 4{cos^2(θ)-sin^2(θ)} + 2cos^3(θ) = 2[ {2cos^2(θ)-1} + cos^3(θ) ]

u=cos(θ) とおくと、
  ↓ r'(θ) の零点
u^3+2u^2-1=0
u=0.618034
2u=1.236068
  
補足コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

底辺1高さrの3角形の面積r/2で、△ABC = r+x(r/2)だと思います。
178-tall さんの書いた通りに計算していくと、同じ答えになりました。
投稿日時:2018/05/01 07:34
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

三角比だけで計算できるんですね、xとsinθを用いたものは、どちらか一方だけに直せないかを考えれるようにしたいと思います。
投稿日時:2018/05/01 07:37
  • 回答No.1

ベストアンサー率 67% (62/92)

あなたの考え方では、 xとθは独立に動ける訳ではなく、xとθとの間も関係がありますね? AからBCに下ろした垂線の足を考えると、x/2 = 1 * cos(θ)の関係が常に成り立ちます。つまり、(sin(θ))^2 = 1-(x^2) / 4 の関係で、xとθの関係が束縛されます。

f(x) = {(x*sinθ)/(x+2)}^2 というあなたの考え方の式で、展開すると(sin(θ))^2が出てきますから、上の関係式を代入するとxだけの式になりますね。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 94% (477/505)

cosθをxを使って表し、sin^2θ=1-cos^2θに代入すれば、xだけの式になりました。xとθの間に関係があるか、これからは注意したいと思います。
投稿日時:2018/05/01 06:06
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