2等辺三角形に内接する円の面積と底辺
AB=AC=1である2等辺三角形ABCに内接する円の面積を最大にする底辺の長さの求め方で、自分の解き方の間違いがわからないので質問します。
内接円の半径をr、底辺の長さをx(x>0)として、∠B=∠C=θ(0<θ<π/2)とおくと、3角形ABCの面積は２通りにあらわせ、△ABC=(1/2)*(1+1+x)*r,△ABC=(1/2)*1*x*sinθ
この２つからr=(x*sinθ)/(x+2)
内接円の面積は、π*r^2からr^2が最大のとき最大となる。f(x)=r^2={(x*sinθ)/(x+2)}^2
と置いて、f'(x)=sin^2θ*(4x/(x+2)^3)となり、0<θ<π/2からsin^2θ＞0より、
4x/(x+2)^3＝0を解こうとしてもx>0から4x/(x+2)^3>0となり、f'(x)=0となるxは求められません。
sinθを使ったのが計算間違いの理由かと思うのですが、定数として扱ってはいけない
理由がわかりません。どなたか間違いを指摘してください。
解説では、内接円の半径をr。底辺の長さを2xとして、3角形の3辺の条件から
|1-1|<2*x<1+1から0<x<1、 3角形ABCの面積の1つめは、(1/2)*√(1-x^2)*2xとし、2つめは(1/2)*(1+1+2x)*r,、2つからr={x*√(1-x^2)}/(1+x)を導き、
f(x)=r^2=(x^2-x^3)/(1+x)、f'(x)=-{2x*(x^2+x-1)}/(1+x)^2 、f'(x)=0となるxは0<x<1から
x=(√5-1)/2 あとは増減表を書いて、x=(√5-1)/2のとき面積は最大となる。
底辺のながさは2x=√5-1でした。
