三角比（円に内接する四角形に関する問題）

質問

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=AD=1、∠BAD=90°、∠BAC＝θとし、対角線ACとBDの交点をEとする。
(1)AE、BE、CE、DEの長さを、sinθ、cosθを用いて表せ。
(2)sin∠AEDをsinθ、cosθを用いて表せ。
(3)△ABE、△BCE、△CDE、△DAEの外心をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、四角形PQRSの面積を求めよ。

(1)図示してみると、BDが直径、∠BAC＝∠BDCが成り立っていることはわかったのですが、そこからどのようにしてAE、BE、CE、DEの長さを表せるのでしょうか？
(2)(1)でDEが出せれば、△AEDで正弦定理を用いればできるのではないかと思います
(3)外心って、外接円の中心で各辺の垂直二等分線の交点のことですよね？正弦定理で半径をだすのでしょうか？
(1)すら解けなくて困っています。
回答いただければ幸いです。宜しくお願いします

回答No.4

debut · ベストアンサー

（１）△ＡＢＥ（∠ＡＢＥ＝45°、∠ＡＥＢ＝135°－θ）で正弦定理より
　　　　ＡＥ/sin45°＝ＢＥ/sinθ＝1/sin(135°-θ)
　　　　ＡＥ/(1/√2)＝ＢＥ/sinθ＝1/{(1/√2)(sinθ+cosθ)}
　　　第１項と３項から　ＡＥ＝1/(sinθ+cosθ)
　　　第２項と３項から　ＢＥ＝(√2)sinθ/(sinθ+cosθ)
　　　ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝√2-(√2)sinθ/(sinθ+cosθ)
　　　　　＝(√2)(sinθ+cosθ)/(sinθ+cosθ)-(√2)sinθ/(sinθ+cosθ)
　　　　　＝(√2)cosθ/(sinθ+cosθ)
　　　△ＡＢＥ∽△ＤＣＥよりＡＥ：ＤＥ＝ＢＥ：ＣＥだから
　　　ＣＥ＝(ＤＥ・ＢＥ)/ＡＥ＝(2sinθcosθ)/(sinθ+cosθ)

（２）△ＡＥＤで正弦定理を使うと
　　　　1/sin∠ＡＥＤ＝ＡＥ/sin45°
　　　　1/sin∠ＡＥＤ＝√2/(sinθ+cosθ)
　　　　よって、sin∠ＡＥＤ＝・・・

（３）ＢＥ、ＤＥ、ＡＥ，ＣＥそれぞれの垂直二等分線で囲まれる図形
　　　が四角形ＰＱＲＳで、平行四辺形。
　　　ＳからＱＲに引いた垂線（ＳＴとする）の長さは垂直二等分線ＰＳ
　　　とＱＲ間の距離だからＡＣの1/2。また∠ＳＲＱ＝45°+θとなる
　　　ことを考えて、△ＳＲＴでsin(45°+θ)＝ＳＴ/ＳＲより
　　　ＳＲ＝ＳＴ/sin(45°+θ)＝1/2*(1+2sinθcosθ)/(sinθ+cosθ)*√2
　　　　　＝(√2/2)(sinθ+cosθ)^2/(sinθ+cosθ)＝(√2/2)(sinθ+cosθ)
　　　ＳＲを底辺とすれば、高さは垂直二等分線ＰＱとＳＲ間の距離に
　　　なるから、ＢＤの1/2。
　　　よって、平行四辺形の面積は
　　　　　　(√2/2)(sinθ+cosθ)×(√2/2)＝・・・

　　と、１つの例です。もっと簡単なやり方を見つけてください。

回答No.3

debut

（１）△ＡＢＥで正弦定理より、ＡＢ，ＢＥがわかる
　　　※加法定理より、sin(135-θ)=sin135cosθ-cos135sinθ=(1/√2)(sinθ+cosθ)
　　　そして例えば、
　　　　ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝√２－ＢＥ
　　　　△ＡＢＥと△ＤＣＥの相似比からＣＥ＝(ＢＥ・ＤＥ)/ＡＥ
　　　　としてＤＥ，ＣＥがわかる

（２）△ＡＥＤで正弦定理を使う

（３）一例ですが、図より
　　　ＳＲを底辺とすると高さはＢＤの一部分にあたるＢＤの1/2
　　　ＳＲは1/2ＡＣ÷cos(45-θ)

回答No.2

age_momo

#1です。若干訂正。
(3)で分かっているのは平行四辺形のそれぞれの高さですね。
ただ、角度が分かっているので辺の長さが計算できます。

回答No.1

age_momo

まずはヒントを書いておきます。

AB=AD=1、∠BAD=90°

△ABDは直角二等辺三角形です。∠ABD=∠ADB=45°ですね。
ということは∠AEB=180°-45°-θ
正弦定理でそれぞれ求まりそうですね。(対角線BDの長さは√2です)

(2)もsin(θ+45°)をsinθ、cosθで表す事になりますね。

(3)はまず図を書いてみましょう。外心は各辺の直角二等分線の交点ですから、
平行四辺形になりますね。しかも各辺の長さは四角形ABCDのそれぞれの対角線の半分になっています。
また、そのそれぞれの角度も対角線の角度になっていますね。
平行四辺形でそれぞれの辺の長さと角度が分かっていれば面積は求められますね。