• ベストアンサー
  • 困ってます

三角形の二辺と面積から内接円の半径を求める

三角形の二辺(15、13)と面積(84)から内接円の半径の求め方を教えてください。

noname#197511
noname#197511

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数8
  • 閲覧数1152
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.7

#5です。訂正と補足を。 (誤)三辺の長さをa,b,cとして、a=13、b=13として・・・ (正)三辺の長さをa,b,cとして、a=15、b=13として・・・ もちろん、13と15が逆でもOKです。 >・・・登場する2次方程式が結構むずかしいなど注意点が多い。 と末尾に書きましたが、私の要領が悪すぎました。難解な2次方程式を使わずとも、以下のようにすれば、ちゃんと算出できます。根性が少々必要ですが。 1.長さ15の辺BCを底辺とする(長さ13の辺ABでもいいのですが、ここでは仮にそうします)。 2.面積が84であることから高さADを求める 3.△ABDで三平方の定理を用いてBDを求める 4.DCを求める 5.△ADCで三平方の定理を用いてACを求める 途中でくじけそうな値も出てきますが、電卓なしでも何とか算出可能です。あと、もう1パターン(#6さんの緑色の三角形)あることを忘れずに。でも、やっぱりオススメは余弦定理かな。 ACの長さが分かれば「三辺の長さから内接円の半径を求める公式」で算出して終わり。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

丁寧な説明ありがとうございました。

その他の回答 (7)

  • 回答No.8
  • kenjoko
  • ベストアンサー率20% (23/110)

質問者から何の音沙汰もないので、周りがいくら考えてもムダ。 私は去る。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.6

こんばんわ。 わたしも、#5さんと同様に三角形の面積を (1) ヘロンの公式を用いて表す (2) 内接円の半径を用いて表す ことで、残りの一辺の長さと内接円の半径を求めることを考えました。 計算が少しややこしそうにみえますが、複雑というわけでもないと思います。 両者には、s= (a+ b+ c)/2(a,b,cは三角形の三辺の長さ)が現れるということから思いついています。 あと、答えが 2つ存在するというのは、 添付の図のように一方の辺を「底辺」として固定して、 もう一方の辺との「角度を開いていく」イメージで動かしていくとわかると思います。 青の辺と緑の辺の三角形は、等積変形のような位置づけになっています。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答していたたきありがとうございました。

  • 回答No.5

#1さんや#2さんの解法に比べると面倒ですが、ヘロンの公式を使うという手があります。 三辺の長さをa,b,cとして、a=13、b=13としてヘロンの公式でcを未知数とする方程式を立てます。 cの4次式になりますが、x=c^2 と置くとxの2次式になります。 この2次式は因数分解できるのですが、ムズかしい。そこで解の公式を使うと、開平が少々厄介。 xの値は2つともプラスの数になるので、cはxの平方根のうち、プラスのもののみを採用して2つ求まる。 あとは三辺の長さから内接円の半径を求める公式に代入。 さらに別の方法として、a,bいずれかを底辺として面積から高さを求め、三平方の定理から方程式を立ててcを求めるのもあります。一見、一番簡単な方法に見えますが、三角形の形が2パターンあることを見落とさないこと、登場する2次方程式が結構むずかしいなど注意点が多い。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4

>cos^2θ+sin^2θ=1から、cosθを求め、(1)に代入してxを求める。 三角形の成立条件より、|15-13|<x<15+13 つまり、2<x<28 という条件を忘れずに。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3

書き込みミス。。。。。w (誤) 2r*(15+13+x)=面積  (正) r*(15+13+x)=面積*2 

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • kenjoko
  • ベストアンサー率20% (23/110)

>三角形の二辺と面積から内接円の半径を求める 三角形の内接円の半径は、三辺の長さから容易にもとめられる。 三角形ABCにおいて、三角形の面積をS、既知の二辺の長さと、その挟角をそれぞれa、、b、Cとする。 公式S=(1/2)ab・sinC からsinCを求め、さらに、sinCよりcosCを求める。 あとは余弦定理を用いて残りの辺cの長さをを求める。 ここまで説明しても分からなければ、前に戻ってやり直した方がよい。 計算はご自分で・・・ 「三角形を征する者は数学を征す」

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答いたたきありがとうございます。

  • 回答No.1

計算が面倒そうなので、それは自分で計算する事。 方針だけ示しておく。 △ABCで AB=15、BC=x、CA=13、∠BAC=θとする。 (1) 余弦定理から、x^2=225+169-390*cosθ (2) 面積=84=(1/2)*(13)*(15)*(sinθ) cos^2θ+sin^2θ=1から、cosθを求め、(1)に代入してxを求める。2つ出るだろうが、適するかどうか確かめる事。 (3) 内接円の半径をrとすると、公式から 2r*(15+13+x)=面積 だから、後は代入して計算するだけ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

返答がおくれて申し訳ありませんでした。以後気を付けるようにします。

関連するQ&A

  • 三角形の外接円と内接円の面積比

    以下の答えを教えて頂きたいです。 ある円に内接する三角形の外接円と内接円の面積比

  • 三角形と内接円・内心

    三角形ABCにおいて、AB=7、BC=3である。この三角形の内心をIとする。AIの延長と辺BCとの交点をDとし、BIの延長と辺ACとの交点をEとする。4点C,E,I,Dは同一円周上にある。 1)角BCAの大きさ及び、線分CAの長さを求めよ。 2)BDの長さ及び、BI*BEの値を求めよ。 3)三角形ABCの内接円の半径を求めよ。 以上が問題です。三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか?

  • 内接三角形の面積

    円に内接している三角形の面積の求め方について教えてほしいです。 円に内接している三角形をABCとおき、円の中心OからBCに垂線をおろし、 その交点をH、距離をt、そして半径をrとする。 このとき、三角形の面積は1/2×2√(r^2-t^2)×(r+t)でいいのでしょうか? (r+t)についてどのような三角形のときにも応用できるかどうかが いまいちよくわからないので教えてほしいです。よろしくお願いします。

  • 三角形や内接円について知りたいです。

    三角形の辺AdとAb、内接円のbdの長さについて求めたいです。どのような結果になりますか。ちなみにAdは勾配は30‰、Abの勾配は20‰です。Mは直角です

  • 円に内接する三角形の面積が最大のときの三角形の形の証明

    【問題】 平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A、B、Cがある。 三角形ABCの内接円の半径rは1/2以下であることを示せ。 rが最大のときは円の面積が最大。そのときの三角形ABCは正三角形だと 予想できるのですが、証明の仕方がわかりません。 わかる方教えてください。お願いします。

  • 三角形と内接円の問題

    △ABCとその内接円があり、内接円と辺BC、CA、ABとの接点をそれぞれD、E、Fとする。 (1)AF=x、BD=y、CE=zとする。△ABCの面積Sと内接円の半径rをx、y、zで表せ (2)Iを内接円の中心とする。  P=(AB・BC・CA)/(AI・BI・CI)の最小値を求めよ。 x、y、zを正の数とすると不等式 (x+y+z)/3 ≧ xyzの三乗根 が成り立つことは用いてよい。 という問題に取り組んでいます。 (1)はヘロンの公式を利用して、 S=√(xyz)(x+y+z)、r=√(xyz)/(x+y+z) と一応なりました。 (2)なのですがAI、BI、CIなどをそれぞれ三平方の定理をもちいて出して代入してみると複雑でうまく計算できませんでした。何かいい方法はありませんでしょうか 回答いただけるとありがたいです。 宜しくお願いします

  • 2等辺三角形に内接する円の面積と底辺

    AB=AC=1である2等辺三角形ABCに内接する円の面積を最大にする底辺の長さの求め方で、自分の解き方の間違いがわからないので質問します。 内接円の半径をr、底辺の長さをx(x>0)として、∠B=∠C=θ(0<θ<π/2)とおくと、3角形ABCの面積は2通りにあらわせ、△ABC=(1/2)*(1+1+x)*r,△ABC=(1/2)*1*x*sinθ この2つからr=(x*sinθ)/(x+2) 内接円の面積は、π*r^2からr^2が最大のとき最大となる。f(x)=r^2={(x*sinθ)/(x+2)}^2 と置いて、f'(x)=sin^2θ*(4x/(x+2)^3)となり、0<θ<π/2からsin^2θ>0より、 4x/(x+2)^3=0を解こうとしてもx>0から4x/(x+2)^3>0となり、f'(x)=0となるxは求められません。 sinθを使ったのが計算間違いの理由かと思うのですが、定数として扱ってはいけない 理由がわかりません。どなたか間違いを指摘してください。 解説では、内接円の半径をr。底辺の長さを2xとして、3角形の3辺の条件から |1-1|<2*x<1+1から0<x<1、 3角形ABCの面積の1つめは、(1/2)*√(1-x^2)*2xとし、2つめは(1/2)*(1+1+2x)*r,、2つからr={x*√(1-x^2)}/(1+x)を導き、 f(x)=r^2=(x^2-x^3)/(1+x)、f'(x)=-{2x*(x^2+x-1)}/(1+x)^2 、f'(x)=0となるxは0<x<1から x=(√5-1)/2 あとは増減表を書いて、x=(√5-1)/2のとき面積は最大となる。 底辺のながさは2x=√5-1でした。

  • 三角形と内接円について

    まず、三角形ABCがあります。底辺がBCです。内接円があって接点はそれぞれd、b、aとなります。ちなみに内接点の接点は辺ABにd、辺ACにb、辺BCにaがあります。頂点Aちょうど真下に点Mがあるとすると直角三角形ABMと三角形MBCの出来上がりです。このうち辺AdとAbの勾配はそれぞれ30‰、20‰です。このとき、辺dbの長さはどのようにして求めなければいけないですか。後勾配は角度変換しなければならないですか。

  • 三角形と内接円について

    まず、三角形ABCがあります。底辺がBCです。内接円があって接点はそれぞれd、b、aとなります。ちなみに内接点の接点は辺ABにd、辺ACにb、辺BCにaがあります。頂点Aちょうど真下に点Mがあるとすると直角三角形ABMと三角形MBCの出来上がりです。辺ABと辺ACの勾配はそれぞれ20%、30%です。 まず、円弧dbの長さはどのようにして求めなければいけないですか。後勾配は角度変換しなければならないですか。

  • 内接円の半径の求め方を教えてください。

    △ABCにおいて、sinA:sinB:sinC=7:8:13が成立し、 △ABCの面積が56√3であるとき△ABCの内接円の半径を求めよ。 この問題の解き方&計算の仕方&答えをどなたか導いてくださいませんか? お願いします。