円に内接する三角形の面積が最大のときの三角形の形の証明

質問

【問題】
平面上の点Oを中心とし半径１の円周上に相異なる3点A、B、Cがある。
三角形ABCの内接円の半径rは1/2以下であることを示せ。

rが最大のときは円の面積が最大。そのときの三角形ABCは正三角形だと
予想できるのですが、証明の仕方がわかりません。
わかる方教えてください。お願いします。

回答No.2

noname#47975 · ベストアンサー

まず、方針としては以下のようになります。

(1)内接する三角形のうち三辺a,b,cの和が最大となる三角形は正三角形である
　事をまず証明します。

(2)それから、ヘロンの公式Ｓ＝√s(s-a)(s-b)(s-c)を利用し、
S/s^2 = r/sの最大値はa = b = c すなわち、正三角形の時である
事を証明します。

ただし、a + b + c = 2s rは内接円の半径である。

(3)(1)(2)より、sの最大値,S/s^2の最大値はそれぞれ、正三角形の時で
あるから、(S/s^2)×s = (r/s)×s = rより、このとき同時にrも最大
になるので、その値がr = 1/2である事を示す。

といった手順で証明可能だと思います。

(1)について、

正弦定理より、a = 2sinA , b = 2sinB , c = 2sinCと表せます。
a + b + c を最大にするためには、2(sinA + sinB + sinC)を最大
にすれば良い事がいえる。ただし、(A + B + C) = πである。
y = sinxは、0 < x < πの範囲で上に凸の関数であるといえるので、
(sinA + sinB + sinC)/3 ≦ sin{(A+B+C)/3} = sin(π/3) = √3/2
であり、sinA + sinB + sinC ≦ (3/2)√3であり、
A = B = Cのおき等号が成立するので、A = B = C = π/3であり、
a + b + c は、a = b = cのとき、最大値3√3を取ると言える。

a + b + c ≦ 3√3 (a=b=cのとき等号成立）
すなわち、s≦ (3/2)√3 (2s = a + b + c)

(2)について、

S/s^2 = r/s =√(1-a/s)(1-b/s)(1-c/x)となり、
ここで、相加・相乗平均の関係より、

{(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s)}^(1/3) ≦ {(1-a/s)+(1-b/s)+(1-b/s)}/3
{(3s-(a+b+c))/s}/3 = 1/3 より、
{(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s)}^(1/3)≦ 1/3

よって、√(1-a/s)(1-b/s)(1-c/s) ≦ (1/3)^(3/2) = 1/3√3
等号成立は、(1-a/s) = (1-b/s) = (1-c/s)すなわち、
a = b = cのときだから、この時、r/sは最大値1/3√3を取る。
すなわち、r/s ≦ 1/√3 (a=b=cのとき等号成立）

(3)について、

r = (r/s)×s
(1)(2)より、
(r/s)≦1/3√3 、s≦3√3/2 (ともに、a=b=cのとき等号成立）
r/s×s = r ≦ 1/2である事から、
r = 1/2が最大であると言える。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます。

回答No.1

Quattro99

円に内接する三角形で面積が最大のものが正三角形でないとすると、その三角形には等しくない2辺が存在する。残りの1辺をABとし、AP=BPとなる点Pを短くない方の弧AB上にとると、△ABC＜△ABPとなる。従って、△ABCは最大ではない。これは最初の仮定に矛盾する。

円に内接する三角形の面積が最大のとき、その三角形が正三角形であることは上のようにして証明できるのではないかと考えましたが、面積が最大のとき、その内接円の半径が最大というのはどう言えばよいのかわかりません。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2006/06ka204.htm
かなりやっかいな問題のようです。幾何学的にやるのは容易ではないのかも。他にもいくつか解答例が見つかりましたが、どれも三角関数を使っています。
上でやったのと同じように、内接円の半径が最大のとき正三角形でなかったとするともっと半径の大きい内接円を持つ三角形が作れてしまうというように証明できそうにも思うのですが。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
かなり計算がごついですね。がんばります。
どうもありがとうございました。