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円の面積を求めたい

xy平面上では円の面積がπr^2と公式通りもとまるのですが・・・ いま、円の面積を求める為に3次元のxyz空間を考え、半径rの円の中心を原点Oにとります。 円の中心からz方向に距離aだけ離れた点A(0,0,-a)から、円周上の任意の点Pまで結んだ線を線分APとし、線分AO(点Oは原点)と線分APのなす角度をθfとします。 [ここからの計算のどこから間違ってるのかが分からないのです] 任意の円の半径をsとし、線分AOから線分APまでの任意の角度をθとすると、微小円の面積はその円周に微小なθの変化量dθをかけて求まると考えると、いま、s=a*tanθなので円の全面積Sは、S=∫2πa*tanθdθ(積分範囲は0~θfまで)となり、これを計算すると、S=-2πa*logcosθf となってしまいπr^2とは全く違った結果になってしまいます。 どなたか欠点を指摘していただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1

円環の面積は、円周×微小幅 で、これを積分するという考え方はいいですが、S=∫2πa*tanθdθ にはなりません。 円周=2πatanθ 微小幅ds=a{tan(θ+dθ)-tanθ} となります。

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質問者からのお礼

ちょっと考えれば当たり前でした。 申し訳ありません。

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 理解できないので補足させていただきますが dsがなぜa{tan(θ+dθ)-tanθ}となるのでしょうか?

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