二つの円の重なっている部分の面積

質問

半径r1,r2の二つの円があって、その中心間の距離をdとするとき、二つの円が重なっている部分の面積は、r1,r2,dの関数としてどのように表すことができるでしょうか。

重なっている部分の面積Sは、

S = r1*r1 (θ1 + sinθ1 * cosθ1) + r2*r2 (θ2 + sinθ2 * cosθ2)
cosθ1 = a / r1
cosθ2 = b / r2
d = a + b

として表すことができるのですが、式が４つありますので、θ1,θ2,a,bを消して、
Sをr1,r2,dの関数として表すことができると思うのですが、
どのようになりますでしょうか。

回答No.3

debut · ベストアンサー

（余弦定理と面積の公式でやったので、a,bが出てきて
　ませんが、ご了承を。）
求める面積は、扇形２つの和から半径だけでできた四角形
の面積を引けばよいから
（四角形の面積は、例えば1/2*r1*d*sinθ1*2でdr1sinθ1）
Ｓ＝ｒ1^2θ1+r2^2θ2-dr1sinθ1
余弦定理から、
cosθ1=(d^2+r1^2-r2^2)/(2dr1)
cosθ2=(d^2+r2^2-r1^2)/(2dr2)
cosθ1から、
sinθ1=・・=(1/(2dr1))√{4d^2r1^2-(d^2+r1^2-r2^2)^2}
以上より、
Ｓ＝r1^2arccos{(d^2+r1^2-r2^2)/(2dr1)}
　　　+r2^2arccos{(d^2+r2^2-r1^2)/(2dr2)}
　　　-(1/2)√{4d^2r1^2-(d^2+r1^2-r2^2)^2}

お礼

直感的にわかりやすいご回答をありがとうございます。
はっきりとイメージをつかむことができました。

回答No.4

Meowth

S=r1^2θ1＋r2^2θ2-xd
でした

お礼

ご確認頂き、まことにありがとうございました。

回答No.2

Meowth

a,bに入れ忘れました。

S=r1^2{arccos([d+(r1^2-r2^2)/d]/2/r1)}
＋r2^2{arccos([d+(r2^2-r1^2)/d]/2/r2)}
-√[{2(r1^2+r2^2)-d^2}d^2-(r1^2-r2^2)^2]

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
大変助かりました。

この形ですと、d=の形に直すことは無理そうですね。

回答No.1

Meowth

S = r1*r1 (θ1 - sinθ1 * cosθ1) + r2*r2 (θ2 - sinθ2 * cosθ2)
と符号が反対です。
円の交点A、Bを結ぶ直線と中心を通る直線の交点をMとする。AM=x、OM=a
O'M=b,角AOM=θ1、角AO'M=θ2とすると、三平方の定理から
x＾2＝r1^2-a^2=r2^2-b^2
r1^2-r2^2=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=d(a-b)
a-b=(r1^2-r2^2)/d
a+b=dから、
a=[d+(r1^2-r2^2)/d]/2
b=[d+(r2^2-r1^2)/d]/2
(2xd)^2={2(r1^2+r2^2)-d^2}d^2-(r1^2-r2^2)^2
S=r1^2θ1＋r2^2θ2-2xd
θ1＝arccos(a/r1) θ2＝arccos(b/r2)
S=r1^2θ1＋r2^2θ2-2xd

しいて代入すれば、
S=r1^2{arccos(a/r1)}＋r2^2{arccos(b/r2)}
-√[{2(r1^2+r2^2)-d^2}d^2-(r1^2-r2^2)^2]

補足

#3の方のご回答から推察しますと、

S=r1^2θ1＋r2^2θ2-2xd
の部分は
S=r1^2θ1＋r2^2θ2-xd

になりますね。