超難、三角形でR,rが一定のとき、面積Sの最大最小

質問

一般性のある問題ですので、興味ある方はどうか一緒に考えてください。
三角形で○と□が一定のとき、△の取り得る範囲を求めよ。
という問題を考えています。
○や□や△には、3辺の長さの和2s、面積S、外接円の半径R、内接円の半径r、などが入ります。
4C2×2＝12通りの問題が作れます。

今回は、その中で次の答えを知りたく質問させていただきました。

三角形で外接円の半径Rと内接円の半径rが一定のとき、面積Sの最大最小は？

ちなみに、最大最小となるのは一般に正三角形のときではありません。
ラグランジュの未定乗数法だと、面積S、外接円の半径R、内接円の半径rを、三角形の3辺の長さa,b,cの関数と考え、また、一定値を同じ文字R、rを用いて、(2乗などは便宜的な調整)
F(a,b,c,λ,μ)={4S(a,b,c)}^2-λ{R(a,b,c)^2-R^2}-μ{4r(a,b,c)^2-4r^2}
=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)-λ{a^2b^2c^2/(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)-R^2}-μ{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(a+b+c)-4r^2}
の偏微分を計算すればいいのですが、複雑すぎます。対数微分を使えばいいでしょうか?

他のアイデアとして、
http://homepage2.nifty.com/retrogression/1-1-2-5-pr-2rstR/index.html
の真ん中にあるように、
2r/R=8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
ここで、A+B+C=πのとき、cosA + cosB + cosC = 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) + 1 = -4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) - 1を使うと、
r/R=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=cosA + cosB + cosC - 1
が一定、つまり、
cosA + cosB + cosC = cosA + cosB - cos(A+B) =一定のとき、
S=abc/4R=2R^2sinAsinBsinC=2R^2sinAsinBsin(A+B)
の最大最小を求めればいいでしょうか?

回答No.2

tsukita

計量化（三角形の面積を数式で表すこと）とは別ですが、
２つの大きさの円ＩとＯが与えられたとき、
内接円にＩを外接円にＯを持つ三角形が作図できない場合もありますが、
仮に、三角形が作図できたとして、２通りの作図が可能でしょうか？

つまり、そのような三角形が作図できるのであれば、
三角形は合同を除いて一意に決定されるような気がします。
つまり、最大・最小というものはなく、
ＳはｒとＲで一意に決定するのでは？

お礼

おっしゃられることは間違いと思われます。

改めて考えてみました。
http://izumi-math.jp/W_Takakura/gaisetu/gaisetu.pdf
のfig5が参考になります。
そこではまず△ABCがあり、外接円、内接円を描き、その後、内接円に関してすべてを反転させています。

今回の質問では、まず、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられます。
ある△ABCが存在して、外接円の半径R、内接円の半径rとなるためには、オイラーの定理
IO^2=R^2-2rR (ただし、内接円の中心をI、外接円の中心をＯとする)
より、R≧2rである必要があります。
さらに、IOが定まるので、外接円と内接円のそれぞれの大きさと位置関係が与えられた状態になります。

そのような状態で、△ABCが存在するのでしょうか。
しかし、外接円上に3点A、B、Cをとり、それらを動かすことを想像してみると、△ABCに内接する円の半径は、大きくも小さくもなり、連続的に変化していきます。したがって、与えられたrに一致するようなときがあることが想像できます。

△ABCが少なくとも1つ存在するのは分かったけど、そのような△ABCはどれくらいあるのでしょうか。
この答えは先ほどのfig5が参考になります。
そこでの点A’、B’、C’を円C_1’上を等速度で回転させていくことを想像してみます。
この想像がきもですが、じっくりと考えると、点A、B、Cも円C_1上を動いていくことが分かります。ただし、一般には等速度ではありません。

これで、外接円と内接円のそれぞれの大きさと位置関係が与えられた状態で、外接円上に任意の点Aをとると、自動的に点B、Cが定まることがわかりました。
いいかえると、内接円に接する直線を1本任意に引くと、自動的に他の2接線も定まり、それらで三角形が作られることがわかりました。

三角形をどのようにとると、面積が最大最小になり、周長が最大最小になるでしょうか？
図のイメージでは、三角形の1辺を最大にとると、高さが最小になり、三角形の1辺を最小にとると、高さが最大になります。
周長の大小はイメージもできません。

ここらへんが幾何学的に考える限界で、後は解析的に考えなくてはいけないかもしれません。
この後はまだ未解決。

回答No.1

mister_moonlight

こんな問題、どこが難しいの？
ちょっと優秀な高校生なら、簡単に解くだろう。

2s＝a＋b＋c　とし　面積をＳとすると、Ｓ＝sr。rは内接円の半径。
正弦定理を使うと、a＝2ＲsinＡ、b＝2ＲsinＢ、c＝2ＲsinＣ。
従って、Ｓ＝sr＝(Ｒr)*(sinＡ＋sinＢ＋sinＣ)だから　sinＡ＋sinＢ＋sinＣの値域を考える。
0＜θ＜πにおいて　sinθは上に凸の凸関数だから、sinＡ＋sinＢ＋sinＣ≧3sin(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)/3だから　最小値は出る。Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πだから、最小値はすぐ出る。但し　等号は正三角形の時。しかし　最大値は出ない。

＞ちなみに、最大最小となるのは一般に正三角形のときではありません。

何を根拠に“一般に”と言うのだ？　勝手な断定をするなよ。

お礼

上から目線のお言葉というのは、諸刃の剣のようですね。
ご自信の勘違いに赤面されているようすが思い浮かびます。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/euler.htm
によると、オイラーの定理があります。
三角形の内接円の中心 I と外接円の中心 Ｏ との距離 ｄ は、
d^2=R^2-2rR
で与えられる。　ただし、Ｒ は、外接円の半径、r は、内接円の半径　である。

今回の問題を幾何学的に考えると、一定値Rとrが与えられると（ただし、R>2r）、d=IOも一定になります。
つまり、外接円と内接円のそれぞれの大きさと位置関係が与えられた状態で、三角形を動かすことになります。
内接円の接線を任意に引き、外接円との交点をB、Cとします。B、Cからそれぞれ内接円に接線を引き、その2つの接線の交点をAとします。しかし、そのAが外接円上にあるとは限りません。
Aの軌跡はどういった形か、どういった場合にAが外接円上にあるのか、も興味のある話題と思います。