三辺の和が一定の三角形の外接円の半径の最小値

質問

三辺の和が 2s の三角形の内接円の半径を r とするとき，
r≦s/3√3
ということは添付画像から分かります。

では、三辺の和が 2s の三角形の外接円の半径を R とするとき，その不等式はどうなるのでしょか？

回答No.8

nag0720 · ベストアンサー

＞三角形ABCで、点B、Cを固定すると、aも固定される。内接円の半径rが一定のとき、点Aはどういった軌跡を動くか
＞例えば、代数的には何次曲線か?
＞例えば、幾何学的にはどのような特徴の曲線か?

三角形と半径rの内接円をxy平面に置いて、
A(x,y)、B(-a/2,0)、C(a/2,0)、O(t,r)　　（Oは内接円の中心、-a/2<t<a/2）
とする。

∠OBC=θとすると、
tanθ=r/(t+a/2)
tan2θ=2tanθ/(1-tan^2θ)=2r(t+a/2)/((t+a/2)^2-r^2)
∠ABC=2θ　なので、
tan2θ=y/(x+a/2)
よって、
2r(t+a/2)/((t+a/2)^2-r^2)=y/(x+a/2)
∠OCBに対しても同様に、
2r(t-a/2)/((t-a/2)^2-r^2)=y/(x-a/2)

この２つの式からtを消去すると、
(a^2-4r^2)(y-r)^3-r(a^2+4r^2)(y-r)^2-4(y-2r)r^2x^2=0
となる。

これがどんな曲線になるかは、tを媒介変数にして、
x=t(t^2-a^2/4-r^2)/(t^2-a^2/4+r^2)
y=2r(t^2-a^2/4)/(t^2-a^2/4+r^2)
として、x,yをプロットしていけば分かるでしょう。

お礼

ありがとうございます。

2r(t+a/2)/((t+a/2)^2-r^2)=y/(x+a/2)
から(t+a/2)を2次方程式の解の公式で求め、
2r(t-a/2)/((t-a/2)^2-r^2)=y/(x-a/2)
においても同様にして、tを消去して、うんうんと計算すると(途中で計算ミスして総時間5時間くらいかかって)、
a^2(y-4)^2-4r^2(x^2+y^2+a^2/4)(y-r)^2+4x^2r^4=0
しかし、この後どうしようもなく悩み続けて、やっとyで割り切れることに気づき、
(a^2-4r^2)(y-r)^3-r(a^2+4r^2)(y-r)^2-4(y-2r)r^2x^2=0
を導き出せました。x,yの3次方程式になるのですね。

パラメータ表示
x=t(t^2-a^2/4-r^2)/(t^2-a^2/4+r^2)
y=2r(t^2-a^2/4)/(t^2-a^2/4+r^2)
でグラフを描くと、放物線と似たような形状になることが分かりました。
ただ、頂点のとんがり具合は、よりひらべったくなります。放物線をVの字に例えると、これはUの字に相当するようです。
また、tの範囲は、-a/2<t<a/2ではなくて、t^2<a^2/4-r^2。
今回の質問をきっかけに、さらなる疑問が思い浮かんでおります。

回答No.10

ferien

ANo.9です。

＞ａｂｃをｓで表すことは意外と難しいです。ｓで表すことができないとしたら、
＞ａｂｃは定数でないのかもしれません。
ａｂｃをｓで表すことができました。難しくはないのに、今ままで気がつきませんでした。
Ｓ＝ｒｓ，Ｓ＝ａｂｃ／４Ｒなので、
ａｂｃ／４Ｒ＝ｒｓとおけるから、
ａｂｃ＝４Ｒｒｓ＝２×Ｒ×ｒ×２ｓ
三角形の３つの辺の積は、（外接円の半径×内接円の半径×３つの辺の和）の２倍です。
この問題の場合は、ａｂｃはやはり定数ではありませんでした。

回答No.9

ferien

ANo.6ANo.7です。度々失礼します。

＞すみません。何か勘違いをされていると思います。
勘違いの意味分かりました。
ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓ（一定）なので、面積Ｓと内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの関係を考えると、

Ｓ＝ｒｓより、ｓは定数だから、Ｓとｒは比例の関係
だから、面積Ｓが最大のとき、ｒも最大になる。

Ｓ＝ａｂｃ／４Ｒ　（ａｂｃ／４）をｓで表せれば定数となるので、ＳとＲは反比例の関係
だから、面積Ｓが最大のとき、Ｒは最小になる。
（ａｂｃをｓで表すことは意外と難しいです。ｓで表すことができないとしたら、ａｂｃは定数でないのかもしれません。そういう場合、最小値を考えることはできるんでしょうか？）

相加平均・相乗平均から不等式で表そうとすると最小値を表す形にならない（不等号の向きが逆）
ので、勘違いしていたと思います。
内接円の半径の場合は、比例定数＝ｓで関係式が作れるのでうまく行きましたが、
外接円の場合は、条件を変えた方がいいのではないでしょうか？

回答No.7

ferien

ANo.6です。

＞すみません。何か勘違いをされていると思います。
何をどのように考えたという詳しい説明もないので、勘違いと言われてもよく分かりません。
手がかりは、内接円の不等式の結果だけなので、それを元に考えました。
内接円の式の結果は、最大値を求めていることになると思います。
（正三角形の場合で、不等式のａ，ｂ，ｃに２ｓ／３を代入すると、一番右の結果になります。）

＞質問を改めて言い換えると次のようになります。
＞a>0,b>0,c>0で、2s=a+b+cが一定のとき、
＞R=abc/4√s(s-a)(s-b)(s-c)の最小値を代数的に求めよ。
図で表すとどういうことになるのでしょうか？

お礼

三辺の和が 2s の三角形の内接円の半径を r とするとき，
0＜r≦s/3√3
ということは解決済みです。

三辺の和が 2s の三角形の外接円の半径を R とするとき，
2s/3√3≦R＜∞
ということの結果は幾何学的な解法により知っています。
しかし、今はその代数的な解法を知りたいのです。
図の直感をまったく排除して、
a>0,b>0,c>0,a+b≧c,b+c≧a,c+a≧bで、2s=a+b+cが一定のとき、
R=abc/4√s(s-a)(s-b)(s-c)の最小値を代数的に求めよ。

回答No.6

ferien

ANo.3です。
＞Ｒ≦２ｓ^3／２７Ｓ
＞の右辺に面積Sがあるのはだめです。面積Sは一定ではありません。
Ｓをヘロンの公式で置き換えれば、
Ｒ≦２ｓ^3／２７√ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）
です。

最小値ではなくて、最大値を求めているのだと思いますが、
正三角形のときに、最大値をとるのであれば、そのときのＲの値を求めてみればいいのではないかと思います。
正三角形の面積から求めます。
ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓだから、正三角形のときは、１辺が２ｓ／３
三角形の面積公式より、
Ｓ＝（１／２）×（２ｓ／３）^2×sin60°
＝（１／２）×（４ｓ^2／９）×（√３／２）
＝√３ｓ^2／９
内接円の半径ｒとすると、Ｓ＝ｒｓより、ｒｓ＝√３ｓ^2／９，
ｒ＝√３ｓ／９＝ｓ／３√３だから、
正三角形のとき、内接円の半径が最大で、ｒ≦ｓ／３√３

外接円の半径をＲとすると、
正三角形の面積は、頂角が120°で、等辺がＲの二等辺三角形３個分だから、
Ｓ＝３×（１／２）×Ｒ×Ｒ×sin120°
＝３×（１／２）×Ｒ^2×（√３／２）
＝（３√３／４）Ｒ^2
（３√３／４）Ｒ^2＝√３ｓ^2／９とおけるから、
Ｒ^2＝（√３ｓ^2／９）×（４／３√３）
＝４ｓ^2／２７より、
Ｒ＝２ｓ／３√３
よって、Ｒ≦２ｓ／３√３　……外接円の半径の最大値だと思います。
上の不等式のａ，ｂ，ｃに２ｓ／３を代入すると、この値になります。
（ａ＝ｂ＝ｃのときが最大？）

どうでしょうか？

お礼

>最小値ではなくて、最大値を求めているのだと思いますが、

すみません。何か勘違いをされていると思います。質問を改めて言い換えると次のようになります。

a>0,b>0,c>0で、2s=a+b+cが一定のとき、
R=abc/4√s(s-a)(s-b)(s-c)の最小値を代数的に求めよ。

回答No.5

nag0720

＞一般の場合も考えて、できれば正攻法で解きたいです。

なにを正攻法と言っているのか分かりませんが、円を固定するのが正攻法でないと言うのなら、
円を固定しなくても同じことです。

三角形の３辺a,b,cの対角をα,β,γ（α,β,γ＞0、α+β+γ=180°）とすると、
正弦定理より、
a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R　（Rは外接円の半径）
よって、
2s=a+b+c=2R(sinα+sinβ+sinγ)
R=s/(sinα+sinβ+sinγ)
あとは、sinα+sinβ+sinγの最大値を調べればいい。

お礼

ありがとうございます。
>あとは、sinα+sinβ+sinγの最大値を調べればいい。

sinxは 0＜x＜π で上に凸だから sinα＋sinβ＋sinγ≦3sin(α＋β＋γ)/3=3√3/2。
等号はα＝β＝γ＝π/3.
よって、R=2s/3√3

しかしやはり、辺の長さだけで証明できないでしょうか?
内接円の半径のときが偶然にもうまくいったので、外接円のときも同類の解法を期待しているのですが。
a>0,b>0,c>0で、2s=a+b+cが一定のとき、
R=abc/4√s(s-a)(s-b)(s-c)の最小値を代数的に求めよ。

今日考えたのですが、この種の問題を、幾何学的に解くと、ほとんど数式を使わないで求めることが出来ます。

三角形ABCで3辺の長さの和2sが一定のとき、面積S、外接円の半径R、内接円の半径rの取り得る範囲を求めよ。
(幾何学的解法)点B、Cを固定すると、aも固定される。2sが一定のとき、点Aは、B、Cを焦点とする楕円上を動く。
このとき面積Sの下限は0、面積Sの最大はb=cのとき。固定していたaも動かすと、面積Sの最大は対称性より、a=b=cのとき。
また再びaを固定したとき、外接円の半径Rの上限は∞、外接円の半径Rの最小はb=cのとき。固定していたaも動かすと、外接円の半径Rの最小は対称性より、a=b=cのとき。
またまた再びaを固定したとき、内接円の半径rの下限は0、内接円の半径rの最大はb=cのとき。固定していたaも動かすと、内接円の半径rの最大は対称性より、a=b=cのとき。

三角形ABCで面積Sが一定のとき、3辺の長さの和2s、外接円の半径R、内接円の半径rの取り得る範囲を求めよ。
(幾何学的解法)点B、Cを固定すると、aも固定される。面積Sが一定のとき、点Aは、直線BCに平行な直線上を動く。
以下同様。

三角形ABCで外接円の半径Rが一定のとき、3辺の長さの和2s、面積S、内接円の半径rの取り得る範囲を求めよ。
(幾何学的解法)点B、Cを固定すると、aも固定される。外接円の半径Rが一定のとき、点Aは、点B、Cを通る円上を動く。
以下同様。

そのように考えて、付随の問題にいきづまりました。
三角形ABCで、点B、Cを固定すると、aも固定される。内接円の半径rが一定のとき、点Aはどういった軌跡を動くか。
例えば、代数的には何次曲線か?
例えば、幾何学的にはどのような特徴の曲線か?

回答No.4

nag0720

＞三辺の和が一定の三角形の外接円の半径の最小値

見かたを変えて、円を固定して考えると、
円に内接する三角形の３辺の和の最大値を求める問題と同じになる。

円の半径をR、３辺に対する中心角をα,β,γ（α,β,γ＞0、α+β+γ=360°）とすると、
３辺の和は、
2R(sin(α/2)+sin(β/2)+sin(γ/2))
となるので、sin(α/2)+sin(β/2)+sin(γ/2)の最大値を求めればいい。

sin(α/2)+sin(β/2)+sin(γ/2)は、α=β=γ=120°のとき最大になる（証明は面倒なので省きますが、そんなに難しくはないでしょう）ので、
2s≦2R(√3/2+√3/2+√3/2)=3√3R
よって、
R≧2s/3√3

お礼

見かたを変えるというアイデアはすばらしいと思います。

しかし、一般の場合も考えて、できれば正攻法で解きたいです。

一般の場合とは、三角形で○○が一定のとき、□□の取り得る範囲を求めよ。

○○や□□には、3辺の長さの和2s、面積S、外接円の半径R、内接円の半径r、などが入る。

つまり、これだけでも、4×3=12通りの問題が作れる。

回答No.3

ferien

＞三辺の和が 2s の三角形の外接円の半径を R とするとき，その不等式はどうなるのでしょか？
２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ，Ｓ＝ａｂｃ／４Ｒより、ａｂｃ＝４ＲＳ
相加平均・相乗平均より、
ａ＋ｂ＋ｃ≧３・3√ａｂｃで、　両辺を３乗しても不等号の向きは変わらないから、
（ａ＋ｂ＋ｃ）^3≧２７ａｂｃ
（２ｓ）^3≧２７・４ＲＳより、Ｒ≦８ｓ^3／２７・４Ｓ＝２ｓ^3／２７Ｓ
よって、Ｒ≦２ｓ^3／２７Ｓ

でどうでしょうか？

お礼

Ｒ≦２ｓ^3／２７Ｓ
の右辺に面積Sがあるのはだめです。面積Sは一定ではありません。

回答No.2

mister_moonlight

質問の意図が良く分からないんだが。

s-a＝α、s-b＝β、s-c＝γ　とすると、α＋β＋γ＝s。
α＞0、β＞0、γ＞0から　その3変数に相加平均・相似平均を使っただけだろう。
α＋β＋γ≧3(3)√(αβγ)　、つまり、s≧3(3)√(s-a)*(s-b)*(s-c)
これと、Ｓ＝sr を連立しただけだろう。

お礼

質問は、三辺の和が一定の三角形の外接円の半径の最小値です。

回答No.1

spring135

R=4abc/√s(s-a)(s-b)(s-c)

です。

後は内接円の場合と同じです。答えは勿論正三角形の場合でしょう。

お礼

ありがとうございます。
しかし、どのように相加相乗平均の不等式を作るのでしょうか。
内接円の場合とまったく同じというわけではないと思うのですが。

補足

式が間違っていますよ。
正しい式は次のようになります。

面積S＝absinC/2
正弦定理c/sinC=2R
より、
R=abc/4S
R=abc/4√s(s-a)(s-b)(s-c)