半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方

質問

タイトル通り、
「半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方」を教えてください。
正十角形の一辺の求め方がヒントのようです。
よろしくお願いします。

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

tokumei7さんは中学生ですよね？（高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから）

さて、正十角形の一辺はわかりましたか？これは実はかなり綺麗に求めることができます。（こっちのほうがよっぽどいい問題）

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか？（相似で出せます）

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。（あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます）
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AOを延長し、CDおよび円周との交点をそれぞれN, A'とする。（CA'が正十角形の一辺です）

AB=2aよりAC=2a*(1+ √5)/2=(1+ √5)a, AM=AC/2=((1+ √5)/2)a
△ABM∽△OCNとOC=1よりON=(1+ √5)/4、よってNA'=1-ON=(3-√5)/4
△OAM∽△A'CNとCN=CD/2=aより、CA'=2/(1+ √5)=(√5-1)/2（この有理化は高校範囲ですが、この問題を解く中学生なら知ってて当然。）
これが正十角形の一辺となります。

ところで、正五角形の一辺だと、あとの相似はいらなくて、あとは△OCNで三平方の定理を用いればaの値は求められますから、それで終わりです。。。
ここで、この答えは、いわゆる２重根号がはずれません。これについてはどうしようもなさそうです。

＃もし三角関数がおわかりなら、答えは2sin36度で、cos36度については２倍角と３倍角の公式を使えば、(1+ √5)/4になります。本質的に上の解答と同じものを求めていることになりますが・・・

＃＃もし対角線の出し方を知らない場合は、ACとBEの交点をPとして、△PAB ∽△BACかつCP=CBより求められます。

お礼

kony0さん、ありがとうございました。
とても丁寧な解説のおかげで、
問題を解くことができました。
本当にありがとうございました。

他のアドバイスをくださった方々も本当にありがとうございました。

回答No.4

noname#251407

補足します。
正五角形の各角から円の中心に向けて線をひくと5個の三角形ができます。
その上で円の中心から三角形の底辺に向けて垂直な線を引きます。

これで一つの角が90°の三角形が10個できます。
円の中心に接する三角形の角の角度は360/10で36°となります。

お礼

わかりました！
ありがとうございました。

回答No.2

ADEMU

http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee-man/bee-man.html
http://www15.big.or.jp/~99mash/stok/pentagram/pentagram.htm
が正五角形の書き方です。
この作図で円外に書いた２点を結ぶ距離が計算できると思います。（正三角形ですので）
あとは三角形の相似を利用して、長さの比が求められると思います。
しかし多角形の作図のし方は面白いですね。

参考URL：

http://g3400.nep.chubu.ac.jp/onsenkids/craft/bee-man/bee-man.html

お礼

ありがとうございます。
ADEMUさん。
だいぶわかってきました。

回答No.1

noname#251407

解答ではなくヒントを差し上げます。

図に書いて見てください。
その上で三角形を作り（一つの角が90°の）長さ1の一辺と円の中心にある角の角度（36°）から求められます。

お礼

アドバイスありがとうございます。
hiroshimaさん。
さっそくやってみました。
でも、まだよくわからなくって・・。
なぜ36°でわかるのでしょうか。
もう少しヒントをください。