和積の公式を用いた不等式の証明

質問

入試で頻出ではないと思うのですが
青チャート完璧にしたほうがいいとおもって
この問題ききにきましたー。

三角形ＡＢＣにおいてsinA+sinB+sinC=
4cosA/2・cosB/2・cosC/2
を証明しなさい

Ａ+Ｂ+Ｃ＝π
なのでＣ=π-(A+B)
cosC/2=cos(π/2 - (A+B)/2)=sin(A+B)
である
ゆえに2sin(A+B)/2・cos(A-B)+sin2・(A+B)/2
=2sin(A+B)/2(cos(A-B)/2 ＋ cos(A+B)/2)
=2cosC/2・2cosA/2・cos(-B/2)
=4cosA/2・cosB/2・cosC/2

というのが回答
最後の下から三番目の式以降がわかりません。
どういった変形をしているのか。
アドバイスまってます。

回答No.2

aqfe · ベストアンサー

とりあえず、誰が見ても同じに見えるように書いたほうがいいです。
とくにsin.cos,tanを使うときはどこまでがsinの中か分かりにくいので…

2sin{(A+B)/2} cos{(A-B)/2} + sin{2・(A+B)/2}

ここまではお分かりなんですね？
ここから第二項でsin(2θ)=2sinθcosθを用いまして、

= 2sin{(A+B)/2} cos{(A-B)/2} + 2sin{(A+B)/2}cos{(A+B)/2}

2sin{(A+B)/2}で囲って、

= 2sin{(A+B)/2} * [cos{(A-B)/2} ＋ cos{(A+B)/2} ]
（下から３番目の式）

ここで、
sin{(A+B)/2} = sin{(π-C)/2} = sin{π/2 - C/2} = cos(C/2)
[ ]内は和積を用いて

= 2cos(C/2) { 2cos(A/2) cos(-B/2) }
（下から２番目の式）

となります。

お礼

ありがとうございます
公式がめんどうですね・・
加法定理からだすといいますが
どっちにしろムズイ・・・

回答No.3

debut

ゆえに2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}+sin2・{(A+B)/2}
　　　　※sin2・{(A+B)/2}に倍角の公式sin2θ＝２sinθcosθを適用
　　　＝2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}+2sin{(A+B)/2}・cos{(A+B)/2}
　　　　※因数分解
　　　＝2sin{(A+B)/2}・[cos{(A-B)/2}+cos{(A+B)/2}]
　　　　※積和公式cosαcosβ＝1/2[cos{(α＋β)/2}+cos{(α－β)/2}]で
　　　　　α＝A/2、β＝－B/2とみて
　　　＝2sin{(A+B)/2}・2cos(A/2)・cos(-B/2)
　　　＝4cos(C/2)・cos(A/2)・cos(B/2)
　　　＝・・・

回答No.1

sasaki626

2倍角の公式をsin2・(A+B)/2
に用いてください。