△ＡＢＣの内角をＡＢＣとするとき，以下を説明せよ。

質問

△ＡＢＣの内角をＡＢＣとするとき，以下を説明せよ。
(1)sinＡ＋sinＢ＋sinＣ＝４cos(Ａ/２)cos(Ｂ/２)cos(Ｃ/２)
(2)sin(２Ａ)＋sin（２Ｂ)＋sin(２Ｃ)＝４sinＡsinＢsinＣ
(3)tanＡ＋tanＢ＋tanＣ＝tanＡtanＢtanＣ

(1)ですが，
　sinＡ＋sinＢ＋sinＣ
＝sinＡ＋sinＢ＋sin(π－(Ａ+Ｂ))
＝sinＡ＋sinＢ＋sin(Ａ+Ｂ)
＝sinＡ＋sinＢ＋sinＡcosＢ＋cosＡsinＢ
＝sinＡ(1＋cosＢ)＋sinＢ(1＋cosＡ)
＝4sin(A/2)cos(A/2)cos^2(B/2)＋4sin(B/2)cos(B/2)cos^2(A/2)
＝4cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2)＋cos(A/2)sin(B/2))
＝4cos(A/2)cos(B/2)sin((A+B)/2)
＝4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).

のようなことを調べたのですが，
sinＡ＋sinＢ＋sin(π－(Ａ+Ｂ))
＝sinＡ＋sinＢ＋sin(Ａ+Ｂ)
のところがどうしてそうなるのか分かりません。教えてください。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

＃１です。すみません。画像添付に失敗しました。

（使いにくくなったなぁ・・・）

補足

図でなんとなく分かってきました。（πー（Ａ＋Ｂ））も（Ａ＋Ｂ）もsinの値が変わらないってことですよね。

回答No.1

banakona

問題になるのは、sin(π－(Ａ+Ｂ))とsin(Ａ+Ｂ)　ですよね？

加法定理を使ってもいいけど、ＡもＢも三角形の内角なので、Ａ＋Ｂは１８０°以下。

だから下図により、sin(π－(Ａ+Ｂ))＝sin(Ａ+Ｂ)　なのは明らか。