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円の面積の公式を証明
「半径ｒの円の面積をSとするとS=πｒ^2」 「limθ→0 sinθ/θ=1」 の二つを循環論法にならないように示す方法を教えてください。個人的に知りたいです。
- riroi-nchoo
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その辺の話は、 「解析入門I」 杉浦光夫著 東京大学出版会 の175ページから詳しく書いてあります。
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- nabla
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No.2の方のやり方がメジャーかと思いますが、高校での三角関数と弧度法の定義からもその公式は導出できます。 証明まで逐一は書きませんが… はじめに曲線の長さを定義します。 どう定義するかというと「曲線を細かく刻んで、折れ線で近似する」というやり方です。（二点を結ぶ線分の長さは分かっているとします） ここで弧度法の定義"扇形の中心角度は半径１の扇形の曲線部分の長さである"を思い出しましょう。 こうすれば x＝∫{0～sin(x)}dt/√(1-t^2)＝F(sin(x)) であることが分かります。 明らかにF(0)＝0であることと、 x→0の極限でsin(x)→0 であることから x/sin(x)＝F(sin(x))/sin(x)＝{F(sin(x))-F(0)/sin(x)-0}→F'(sin(0))＝1 となります。（微積分学の基本定理を使いました） これでうまく行っているはずです。
- yumisamisiidesu
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解析学では cos(z)≡Σ((-1)^n)(z^(2n))/(2n)! sin(z)≡Σ((-1)^(n+1))(z^(2n+1))/(2n+1)! と定義してこれから sin(x)/x→1 (x→0) とcos,sinの不定積分を導くことができ、 また、直交座標系と極座標系は原点以外で1:1対応することから{(acos(b),asin(b))|a∈[0,r],b∈[0,2π)}が円の内部・周になることが言えて後は積分をして面積の公式が得られると思います.
- akina_line
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こんにちは。 表記の循環論法の問題が記述されているページが下記サイトで、その中で、循環論法にならない証明がリンク先のページにあるようです。まだ、下記サイトでも整理されています。 では。
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