円の面積と三角関数の微分法の関係

質問

私は高３なんですが、今、ＡＯ入試の準備で
三角関数の極限の基本公式
lim(θ→0)sinθ/θ＝1
についてレポートをまとめています。
そのときに面積を用いた証明は、
円の面積を求めるときに三角関数の微分法を用いてしまうため、
そうすると三角関数の極限の基本公式lim(θ→0)sinθ/θ＝1を用いることになり、
循環論法になってしまうと…
ここでなぜ、
三角関数の微分法を用いて円の面積(半径をrとして)
πr^2
がどうしたら出てくるのか、教えてください。わかりにくい質問で申し訳ありませんが、お願いします。

回答No.3

magmi-shi · ベストアンサー

原点Oを中心とする半径rの円を考えます。
　x^2＋y^2＝r^2
ですね。この円の第１象限の部分の面積を求めます。x＞0，y＞0だから
　y＝√(r^2－x^2)
なので，これをx＝0～rまで積分して，
　∫[x=0～r]ydx＝∫[x=0～r]√(r^2－x^2)dx
ここでx＝rsinθ(rcosθでもいいです）とおき，変数xをθに変換すると，
　θ＝0～π/2
　dx＝rcosθdθ
　√(r^2－x^2)＝√(r^2－r^2・sinθ^2)
　　　　　　　＝r√(1－sinθ^2)
　　　　　　　＝rcosθ
となるので，結局もとの面積は
　∫[θ=0～π/2]r^2cosθ^2dθ
となります。cosθ^2の積分は半角の公式を用いて簡単に計算でき，得られる答は
　πr^2/4
となります。これが4分の1の面積ですから円全体ではπr^2となります。

回答No.2

noname#21330

微分による円の面積は？です。
積分なら参考ＨＰにあります。
√(r^2-x^2)
の積分です。
lim(θ→0)sinθ/θ＝1　-> 微分　->積分　->面積　->

の循環でしょうか？

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm

回答No.1

BLUEPIXY

円をｎ個に分割した角度を
θ=2π/n
とすると、
ｎ個のｒで囲まれる三角形を足し合わせた面積は
n*(1/2)*r*r*sinθ
=(2π/θ)*(1/2)*r*r*sinθ
=π/θ*r*r*sinθ
=π*r*r*sinθ/θ
になる
この時θを０に近づけると円の面積に近づく。