三角関数の極限について

質問

三角関数の極限について

こんばんは、Ｇｉａｎｔｓと申します。

「オイラーの公式の発見」のサイト
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/euler.shtml
で次の解説があります。

＝＝＝＝＝＝＝＝以下解説＝＝＝＝＝＝＝＝
nα＝χとします。χは一定の数です。そうしてnを無限大にするのです。当然αは無限に小さくなります。すると、三角関数の性質から、

　lim[n→∞]cos(χ／n)＝1　　　lim[n→∞]sin(χ／n)＝χ／n

がいえます。

=======＝以上解説＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
何故ｃｏｓの場合は１になり
ｓｉｎの場合はｘ／ｎで０ではないのですか。
どちらもｘ／ｎでもいいと思うのですが。
アドバイスよろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

数学的な記述としては不完全だと思いますが、
イメージがわかるように説明してみたいと思います。

まず、cos　のほうから。

（cosθ）’　＝　－sinθ
なので、cosθ　を　θ＝０　の周りに展開すると、
lim[θ⇒0]cosθ　＝　lim[θ⇒0]｛cosθ　－　θsinθ　＋　θ^2×？　＋　θ^3×？　＋・・・｝
θ≪１　のときは、第３項以降は無視できて、
lim[θ⇒0]cosθ　≒　lim[θ⇒0]｛cosθ　－　θsinθ｝
比率で言えば、cosθ（≒１）　と　θsinθ（≒０）　は大差なので、
lim[θ⇒0]cosθ　≒　cos０　－　０×０　＝　１

次に、sin　について。

（sinθ）’　＝　cosθ
なので、sinθ　を　θ＝０　の周りに展開すると、
lim[θ⇒0]sinθ　＝　lim[θ⇒0]｛sinθ　－　θcosθ　＋　θ^2×？　＋　θ^3×？・・・｝
θ≪１　のときは、第３項以降は無視できて、
lim[θ⇒0]sinθ　≒　lim[θ⇒0]｛sinθ　－　θcosθ｝
比率で言えば、sinθ（≒０）　と　θcosθ（≒θ）　は大差なので、
lim[θ⇒0]sinθ　≒　０　－　θcos０　＝　θ

以上のことを、θ＝χ／ｎ　に置き換えて考えてください。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。

テーラー展開で少しぐぐってみます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

「極限の式」としては、指摘されているとおり sinの場合は 0になりますね。
つまり、　lim[n→∞]sin(χ／n)＝ 0　です。

いまの話は、極限と近似式（近似値）の話がごっちゃになってしまっています。
サイトにも「テーラー展開」とありますが、関数を多項式の型に「近似」していることになります。
#1さんもこの説明をされていますね。

質問自体は、極限の話ですので近似で書くのではなく、値としていくつになるかを考えることになります。
違いがわかればいいのですが。＾＾；

お礼

早速の回答ありがとうございます。
極限と近似値は違うということですね。

少しテーラー展開でぐぐってみます。