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三角関数について

三角関数について f(θ)=cos^2+2/3√3sinθcosθ-sin^2 f(θ)=√3/3sin2θ+cos2θ =2√3/3sin(2θ+60°) (1)f(135°)=-√3/3であり、角α(0°≦α≦90°)がf(α)=f(135°)を満たすならα=75°である。 という問題があるのですが、(1)がわかりません。 詳しく解説していただけると有り難いです。

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(1)の解き方ですが、 f(135°)= -√3/3と計算してくれています。 ですので f(α) = f(135°)= -√3/3 すなわち、 f(α) = -√3/3 となるαを求めてくださいという問題です。 問題の中で、式変形までしてくれていますので、 一番シンプルな、 f(θ) = 2√3/3sin(2θ+60°) を使いましょう。 αを代入すれば、 f(α) = 2√3/3sin(2α+60°) (1) です。 この問題は f(α) = -√3/3 (2) の時のαを求めろというものなので (1)と(2)をあわせて 2√3/3sin(2α+60°) = -√3/3  という方程式を解けばよいのです。 この式の両辺2√3/3で割ると sin(2α+60°) = -1/2 となりますね。 -1/2となるsinは、sin210°と、sin330°なので、 2α+60° = 210°または330°となります。 これをそれぞれ解いていくと、 2α = 150°または270° α = 75°または135° となります。 問題を良く見ると、 0°≦α≦90° なので、実は、この問題に合うαは α = 75°  だけだと分かります。 蛇足ですが、 cos60,cos300,sin30,sin150が1/2 cos120,cos240,sin210,sin330が-1/2 cos30,cos330,sin60,sin120が√3/3 cos150,cos210,sin240,sin300が-√3/3 は頻出なので覚えておくと良いと思います。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1
noname#185706

αを a と書きます。 f(a)=f(135°) より {(2√3)/3}sin(2a+60°) = -(√3)/3 。 よって sin(2a+60°)= -1/2。 (1) 0°<= a <= 90° なので 60°<= 2a+60° <= 240°。 この範囲で(1)を満たすのは 2a+60°= 210°。 これから a = 75°。

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わざわざ詳しい解説ありがとうございます。

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