三角関数の問題のわからないところ

質問

センターの三角関数の問題です。わからないところ以外の空欄は埋めています。
0°≦θ≦１８０°のとき、f(θ)=√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+3とする。
f(θ)=(sinθ-cosθ)^2 + √2(sinθ-cosθ) + 2である。
t=sinθ-cosθとおくと、
t=√2sin(θ-45°), -1≦t≦√2である。
f(θ)の最大値は６でこのときθは１３５°である。
f(θ)=5であるときt=(√14 - √2)/2 であり、f(θ)=5を満たすθをθ[1],θ[2]とするとき、
θ[1]＋θ[2]＝（　　　）

最後のカッコのところがわかりません。お願いします。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

＞それと、グラフ以外に、単位円では解けないのでしょうか？

No.2の説明に対する質問への回答の意味も込めて書きますと,
単位円 x^2+y^2=1 の －45°≦θ－45°≦135°の範囲で考えます.
これとy=(√7-1)/2との交点が問題なのですが,
θ－45°=90°±45°のときy=1/√2に気をつけると,
1/√2＜ (√7-1)/2 ＜1 より,
45°＜θ－45° ＜90°と 90°＜θ－45°＜135°にそれぞれ1個ずつ交点が存在して, しかもθ－45°=90°に関して対称です.
よって θ-45°=90°±α (ただし0°＜α＜45°)
<==> θ=135°±α <==> θ[1]=135°-α , θ[2]=135°+α (または逆)
と書けて,
θ[1]＋θ[2]＝270°
になります.

お礼

ご回答どうもありがとうございました。
説明を聞いてはっきりわかりました！そして、どういうことを聞いている問題なのかもわかりました。グラフでも単位円でも理解することができたので良かったです。類似の問題にも慣れておく必要がありますね。どうもありがとうございました！

回答No.5

oshiete_goo

[角の変数の解釈の注意]
t=√2sin(θ-45°) とおいて考えたため, θ-45°を1つの角とみて
単位円x^2+y^2=1上の点(x,y)=(cos(θ-45°),sin(θ-45°))
という対応ですので, 読むときご注意下さい.
例えば, 点(0,1)は θ-45°＝90°に対応し,
－45°≦θ－45°≦135°は点(1/√2,-1/√2)から反時計回りに点(-1/√2,1/√2)までです.

お礼

こんいちは！何度もお返事くださって光栄です。そこがわからなかったんです！グラフ書いてみるとy=sin(θ-45)のグラフを書いて見ると、横軸はθだから、１８０°まであるんですね。だから、１３５°のところで、対称点が生まれるんですね。慣れてないとうっかりしますね、本当に。単位円で考えた方が間違えないような気がするので、単位円で考えたいと思います。どうもありがとうございました！

回答No.3

roro02

＞θ[1]＋θ[2]＝（270°）
うっかりしておりました。変数変換をして、戻すときに45°の差を考えるのを忘れておりました。

oshiete_gooさんのおっしゃる通りだと思います。
実際に出題されたとしたら自信満々でやられていました(笑)。

回答No.2

oshiete_goo

＞f(θ)=5より計算していくと、sin(θ-45°)=(√7-1)/2までたどり着きます。
この右辺の値は0.822876...という数字になります。

確かにここまではroro02さんのおっしゃる通りなのですが,
1/√2＜sin(θ-45°)＜1
より, θ-45°=90°±α <==> θ=135°±α
となり, θ[1]＋θ[2]＝（270°）
ではないでしょうか.

思い違いだったらすみません．

お礼

ご回答ありがとうございます。

>1/√2＜sin(θ-45°)＜1
より, θ-45°=90°±α <==> θ=135°±α

すみません、ここはどのようにして解かれているのでしょうか？
考えたんですけどわかりませんでした。

回答No.1

roro02

これは、θ_1およびθ_2単独では求められないが、その和は求められるというケースに当たります。

f(θ)=5より計算していくと、sin(θ-45)=(√7-1)/2までたどり着きます。
この右辺の値は0.822876...という数字になります。

ここで、y=sin x とy=0.822...のグラフを描いてみてください。
ちょうど、x=90を対象の軸として２つ交点がでてきます。これらがそれぞれθ_1およびθ_2にあたります。

グラフの対称性よりθ_1=90-α、θ_2=90+αと表せ、その和は180です。
最後のかっこはマークするところが３桁になっていませんか？

三角関数の問題で変数変換を行い、最大値に関連する問題ですが、いきなり最後のところだけ飛躍が大きいと思います。

お礼

お返事どうもありがとうございます。NO,2の方のお答えから「x=90を対象の軸」→「x=１３５を対象の軸」と考えれば良いんですね。
ちょっとわからないところがあるのですが、θの範囲を見てみますと０°≦θ≦１８０°だから、－４５°≦θ－４５°≦１３５°ですよね？とすると、１３５°までしかないのになぜ１３５°の対称点を持つことができるのでしょうか？
それと、変数変換ってなにでしょうか？それと、グラフ以外に、単位円では解けないのでしょうか？できればそちらの解法も見てみたいのですが。
いっぱい聞いてすみません。