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三角関数の問題のわからないところ

センターの三角関数の問題です。わからないところ以外の空欄は埋めています。 0°≦θ≦180°のとき、f(θ)=√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+3とする。 f(θ)=(sinθ-cosθ)^2 + √2(sinθ-cosθ) + 2である。 t=sinθ-cosθとおくと、 t=√2sin(θ-45°), -1≦t≦√2である。 f(θ)の最大値は6でこのときθは135°である。 f(θ)=5であるときt=(√14 - √2)/2 であり、f(θ)=5を満たすθをθ[1],θ[2]とするとき、 θ[1]+θ[2]=(   ) 最後のカッコのところがわかりません。お願いします。

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>それと、グラフ以外に、単位円では解けないのでしょうか? No.2の説明に対する質問への回答の意味も込めて書きますと, 単位円 x^2+y^2=1 の -45°≦θ-45°≦135°の範囲で考えます. これとy=(√7-1)/2との交点が問題なのですが, θ-45°=90°±45°のときy=1/√2に気をつけると, 1/√2< (√7-1)/2 <1 より, 45°<θ-45° <90°と 90°<θ-45°<135°にそれぞれ1個ずつ交点が存在して, しかもθ-45°=90°に関して対称です. よって θ-45°=90°±α (ただし0°<α<45°) <==> θ=135°±α <==> θ[1]=135°-α , θ[2]=135°+α (または逆) と書けて, θ[1]+θ[2]=270° になります.

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質問者からのお礼

ご回答どうもありがとうございました。 説明を聞いてはっきりわかりました!そして、どういうことを聞いている問題なのかもわかりました。グラフでも単位円でも理解することができたので良かったです。類似の問題にも慣れておく必要がありますね。どうもありがとうございました!

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  • 回答No.5

[角の変数の解釈の注意] t=√2sin(θ-45°) とおいて考えたため, θ-45°を1つの角とみて 単位円x^2+y^2=1上の点(x,y)=(cos(θ-45°),sin(θ-45°)) という対応ですので, 読むときご注意下さい. 例えば, 点(0,1)は θ-45°=90°に対応し, -45°≦θ-45°≦135°は点(1/√2,-1/√2)から反時計回りに点(-1/√2,1/√2)までです.

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質問者からのお礼

こんいちは!何度もお返事くださって光栄です。そこがわからなかったんです!グラフ書いてみるとy=sin(θ-45)のグラフを書いて見ると、横軸はθだから、180°まであるんですね。だから、135°のところで、対称点が生まれるんですね。慣れてないとうっかりしますね、本当に。単位円で考えた方が間違えないような気がするので、単位円で考えたいと思います。どうもありがとうございました!

  • 回答No.3
  • roro02
  • ベストアンサー率26% (15/57)

>θ[1]+θ[2]=(270°) うっかりしておりました。変数変換をして、戻すときに45°の差を考えるのを忘れておりました。 oshiete_gooさんのおっしゃる通りだと思います。 実際に出題されたとしたら自信満々でやられていました(笑)。

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  • 回答No.2

>f(θ)=5より計算していくと、sin(θ-45°)=(√7-1)/2までたどり着きます。 この右辺の値は0.822876...という数字になります。 確かにここまではroro02さんのおっしゃる通りなのですが, 1/√2<sin(θ-45°)<1 より, θ-45°=90°±α <==> θ=135°±α となり, θ[1]+θ[2]=(270°) ではないでしょうか. 思い違いだったらすみません.

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 >1/√2<sin(θ-45°)<1 より, θ-45°=90°±α <==> θ=135°±α すみません、ここはどのようにして解かれているのでしょうか? 考えたんですけどわかりませんでした。

  • 回答No.1
  • roro02
  • ベストアンサー率26% (15/57)

これは、θ_1およびθ_2単独では求められないが、その和は求められるというケースに当たります。 f(θ)=5より計算していくと、sin(θ-45)=(√7-1)/2までたどり着きます。 この右辺の値は0.822876...という数字になります。 ここで、y=sin x とy=0.822...のグラフを描いてみてください。 ちょうど、x=90を対象の軸として2つ交点がでてきます。これらがそれぞれθ_1およびθ_2にあたります。 グラフの対称性よりθ_1=90-α、θ_2=90+αと表せ、その和は180です。 最後のかっこはマークするところが3桁になっていませんか? 三角関数の問題で変数変換を行い、最大値に関連する問題ですが、いきなり最後のところだけ飛躍が大きいと思います。

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質問者からのお礼

お返事どうもありがとうございます。NO,2の方のお答えから「x=90を対象の軸」→「x=135を対象の軸」と考えれば良いんですね。 ちょっとわからないところがあるのですが、θの範囲を見てみますと0°≦θ≦180°だから、-45°≦θ-45°≦135°ですよね?とすると、135°までしかないのになぜ135°の対称点を持つことができるのでしょうか? それと、変数変換ってなにでしょうか?それと、グラフ以外に、単位円では解けないのでしょうか?できればそちらの解法も見てみたいのですが。 いっぱい聞いてすみません。

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