逆三角関数と極限値の問題でわからないところあります。

質問

逆三角関数と極限値の問題でわからないところあります。
もしよかったら教えてください＞＜

逆三角関数の問題が

(問)
lim[ｘ→+∞]tan^-1 ｘ=π/2

極限値の問題が

(問)
！、 lim[ｘ→∞](１+a/x)^3

２、 lim[ｘ→∞]x/a^x (a＞１)

３、 lim[ｘ→+０]x^b logx (b＜０)

* グレード

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回答No.1

muturajcp

∀ε>0
→∃K>1/ε
x>K
→|arctan(x)-π/2|=arctan(1/x)<1/x<1/K<ε
→lim[ｘ→+∞]arctan(ｘ)=π/2

1.
∀ε>0
→∃K>max(1/ε,7|a|/ε,|a|)
x>K
→
|(1+(a/x))^3-1|=|(a/x)((1+(a/x))^2+1+(a/x)+1)|<7|a/x|<7|a|/K<ε
lim[x→∞](1+(a/x))^3=1

2.
a>1
∀ε>0
→∃K>2/(ε(loga)^2)
x>K
→
|x/(a^x)|=|2/(x(loga)^2)|<|2/(K(loga)^2)|<ε
lim[x→∞]x/(a^x)=0

3.
b<0
∀K>1
→∃δ<min(1/K,K^{1/b},e^{-K},1)
0<x<δ
→
x<K^{1/b}
x^{-b}<1/K
x^b>K
x<e^{-K}
logx<-K
-logx>K
-x^blogx>K^2>K
x^b logx <-K

lim[x→+0]x^b logx=-∞