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三角関数の問題です
三角関数の問題です。2点A(0,8),B(0,9)を結ぶ線分をゴ―ルとして、直線y=x上を移動している選手の位置をP(x,x)(x>0)とする。この選手から見えるゴ―ルの角度∠APBをθとするとき、次の問いに答えよ。 (1)tanθをxで表せ。 (2)θが最大となるときにシュ―トするとして、そのときの選手の位置の座標を求めよ。 ちなみに答えは、(1)tanθ=x/2x^2ー17x+72(2)(6,6)となってます。解答しかわからず、解き方がわからないので、どなたか教えてください。宜しくお願いします。
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>点Pからy軸に下ろした垂線の足をC(0,x)、 ∠CPA=αとすると、 tan(α+θ)=(9-x)/x、tanα=(8-x)/x、 tan(α+θ)=(tanα+tanθ)/(1-tanαtanθ)だから 見易くするためtanα=A、tanθ=Bとすると、 (9-x)/x=(A+B)/(1-AB)、(9-x)(1-AB)=x(A+B)、 整理して、B={(A+1)x-9}/{(A-1)x-9A} A=(8-x)/x、A+1=(8-x)/x+1=8/x、A-1=(8-2x)/xを 代入して、 tanθ={(8/x)x-9}/[{(8-2x)/x}x-9{(8-x)/x}] =x/(2x^2-17x+72)・・・答 >θが最大になるのはtanθが最大になるときだから、 tanθ=y(x)とおくと、y(x)=x/(2x^2-17x+72) dy/dx={(2x^2-17x+72)-x(4x-17)}/(2x^2-17x+72)^2 =(-2x^2+72)/(2x^2-17x+72)^2 =-2(x+6)(x-6)/(2x^2-17x+72)^2 2x^2-17x+72=0の根の判別式<0だから常に2x^2-17x+72>0 が成り立つので、y(x)はx>6で減少関数、-6<x<6で 増加関数となるので、x>0の条件の下ではx=6でy(x)は 最大値(極大値)となる。よって、θが最大になるのはx=6の ときとなるので、そのときの選手の位置の座標(x,x)は (6,6)となる。
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お礼
すごくよくわかりました。ご丁寧な回答ありがとうございました。