数II 三角関数

質問

この問題の解説をお願いします

２点A(0.8),B(0.9)を結ぶ線分をゴールとして、直線y=x上を移動している選手の位置をP(x,x)(x>0)とする。
この選手から見えるゴールの角度∠APBをθとするとき、次の問に答えよ。
(1)tanθをxで表せ。　　　　
(2)θが最大となるときにシュートするとして、そのときの選手の位置の座標を求めよ。

答：(1)tanθ=x/2x^2 -17x+72
(2)(6,6)

回答No.1

muneneko · ベストアンサー

(1)
点Pからy軸に垂直に引いた線とy軸との交点をHとします。
∠BPH=α、∠APH=βとすると、tanα=(9-x)/x、tanβ=(8-x)/x

θ = α-β

なので、この正接をとって、加法定理を使えば

tanθ = tan(α-β)
= (tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

これに、tanα=(9-x)/x、tanβ=(8-x)/xを代入して

tanθ = x/(2x^2 -17x+72)

(2)
今、0<θ<π/2なので、θが最大になるためにはtanθが最大、つまり1/tanθが最小になればいい。

1/tanθ = (2x^2 -17x+72)/x
= 2x-17+72/x

ここで、2x+72/xの最小値は、相加平均・相乗平均より

2x+72/x≧2√(2x・72/x)

等号が成り立つのは、2x = 72/x　の時であるから

x=6

よって(6,6)

かな？

お礼

ご丁寧な解説ありがとうござます！
相加相乗がでてこなかった・・・