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三角関数の導関数
いつもお世話になっています。 三角関数の導関数のところで lim{sin(x+h) - sin(x)}/h = lim{2cos(x+h/2)sin(h/2)}/h = lim{cos(x+h/2)sin(h/2)}/(h/2) のように変形して、h→0 のとき cos(x+h/2) → cosx sin(h/2)/(h/2) → 1 として求めていました。 ここで質問なのですが lim(○△) = lim○lim△ のようなことをしてもよいのでしょうか？ あと h→0 のときに sinh/h → 1 となる証明は http://osaka.cool.ne.jp/economia/math/math4.pdf のページ等で図形を使うものを見つけて大体納得できたのですが、 cos(x) < sin(x)/x < 1 まできたところで、x→0 のとき cos(x)→1 とやっています。 最後のところですごく感覚的になった気がするのですが、 これは式で証明しなくてよいのでしょうか？
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＞h<0 のときは証明しなくてもよいのでしょうか？ なかなか注意深く証明を辿られているようで、良いことだと思います。 h→+0の場合の証明は理解されているようなので、それを用いてh→-0の場合の証明をします。 h<0のときh'=-hと置くとh'>0であるから、h→-0のときh'→+0である ここで sin(h')/h' = sin(-h)/(-h) = sin(h)/h より lim[h→-0]{sin(h)/h} = lim[h'→+0]{sin(h')/h'} = 1 よって lim[h→-0]{sin(h)/h} = 1 これと、lim[h→+0]{sin(h)/h} = 1を合わせて lim[h→0]{sin(h)/h} = 1 が示された。 このようにsin(x)が奇関数であることより証明されます。
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- proto
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lim[x→a]{f(x)}とlim[x→a]{g(x)}が共に収束するとき、それぞれの値をF,Gと置くと、 lim[x→a]{f(x)*g(x)} = (lim[x→a]{f(x)})*(lim[x→a]{g(x)}) = F*G が成り立ちます。 これはε-δ論法を用いて証明できます。大学教養レベルです。 cos(x)の連続性を用いて良いのならば、x=0は定義域に含まれますので lim[x→0]{cos(x)} = cos(0) = 1 として大丈夫です。 f(x)がx=aを定義域に含むとき、lim[x→a]{f(x)}=f(a)となることは、f(x)がx=aで連続であることの定義です。 逆にx=aで連続であることが分かっているなら、上記の関係を用いて良いことになります。 cos(x)が(-∞,∞)で連続であることもちゃんと証明できます。
お礼
回答ありがとうございます。 > lim[x→a]{f(x)}とlim[x→a]{g(x)}が共に収束するとき 無限大とか 0 とかになるとダメな場合もあるということですね。 f(x)=x, g(x)=1/x で x→0 としたときなどがダメな場合の例かなと思いました。 > これはε-δ論法を用いて証明できます。大学教養レベルです。 独学で大学の数学をやってみようと思ったので、 ε-δ論法は紹介程度にしか載っていない教科書を買いました。 今やっている教科書が終わったら、 2冊目でしっかりした物を買ってε-δ論法もやってみたいと思います。
補足
いろいろ考えていたらもう一つ疑問が出てきました。 今は三角関数の導関数を求めているので lim[h→0]{sin(x+h) - sin(x)}/h のときには h が右から0に近づく場合と 左から0に近づく場合が一致するような x のときに 微分可能になって導関数が存在するのだと思います。 ということは、変形の途中の cos(x+h/2) → cosx sin(h/2)/(h/2) → 1 でも h は両側から寄って行くことが要求されるので、 図形の証明をするときに h>0 として cos(h) < sin(h)/h < 1 のようにしているのは大丈夫なのかなと思いました。 h<0 のときは証明しなくてもよいのでしょうか？ 重ねての質問で申し訳ありません。
>x→0 のとき cos(x)→1 これは間違いで、cos(x)は連続関数でx=0で微分可能、さらにcos(0)＝１なので極限を取る必要はありません。
お礼
回答ありがとうございます。 > これは間違いで、cos(x)は連続関数でx=0で微分可能、 > さらにcos(0)＝１なので極限を取る必要はありません。 極限を取るのは sin(h)/h で h→0 として 0/0 みたいになってしまうときということでよいでしょうか？
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