円の面積の公式

質問

円の面積が半径×半径×円周率で求められる理由を
中学生程度の数学で説明をお願いします。

回答No.1

tommy1977 · ベストアンサー

円周率の定義は検索すれば出てきますので、
これは省略。

で、円周は2×円周率×半径。　　　これ覚えておいてて下さい。
これが面積を求める際のミソ。

で、包丁とケースを使ってキャベツの大体の体積を求めなさい、とあったら、どうしますか？そうです。千切りにしてケースに詰めてぎゅ、ぎゅ、です。（簡単に言うと、千切りが微分、ぎゅぎゅ、が積分です）

円の面積も同じ。外側から中心点に向かって、出来るだけ細く扇形で切っていくと、あら不思議、円が三角形の固まりになってしまいましたね。
三角形の公式は、底辺×高さ÷２ですよね。ここの底辺は半径。
高さは全部合わせるとほぼ円周になりますよね。（全部縦に並べると円周と同じになるのがわかるかな？）
そうです。
底辺×２×円周率×半径÷２、ここで底辺は半径なので、

半径×２×円周率×半径÷２＝半径×半径×円周率。

こんな感じでどうでしょうか。ご納得いただけましたでしょうか。

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
とてもおもしろい公式の説明で、驚きました！
ありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

円の面積が 半径×半径×ある定数 であることは、
相似を習っていれば解ります。
しかし、その定数が円周率であることを
理解するには、多少の積分計算が必要です。

小学校の教科書に、よく、
円を放射状に切り分けて、平行四辺形もどきに
並べる説明が載っていますが、あれは、
面積の極限はともかく、辺長の極限の取り扱いが
粗雑で、話になりません。

中学生に積分をこなせとは言いませんが、
中学生にもなって、あんなイイカゲンな説明に
疑問を感じないようでは、
先々、数学の成績が思いやられます。

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
円周率については奥が深いですね。

回答No.4

fukuda-h

視覚的に納得させるには三角形や四角形に変形する方法が有名です。参考ＵＲＬ見て下さい。

参考URL：

http://devi123.hp.infoseek.co.jp/sano/en2.htm

お礼

回答していただきまして、ありがとうございます。
URLを拝見しました。わかりやすい説明ですね！
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.3

fujiyama32

No.1の方の回答を図解にしました。図解と合わせて考えて下さい。

1)半径rの円を16等分します。
2)16等分を横1列に並べます。
3)1番から8番と9番～16番に区分けします。
4)1番から8番の上に上下逆さにした9番～16番を乗せます。
5)9番～16番を隙間無く押し付けます。
6)縦×横が面積になります。
7)16等分を32等分します。更に32等分を64等分で考えます。
8)益々、[π×r×r]に近づきます。
9)64～128等分、更に等分する数を無限大まで大きくします。
(この考え方は、これから勉強することになります。)
10)[π×r×r]になりました。

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
画像付きでとてもわかりやすい説明でした！
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#111804

中学校では図形を使って
面積＝π・r＾２とならった。

なんとなく理解したものの、厳密に言われると
いまでもわかりません。

πの値は1兆桁まで求められています。
そしてその桁は無限に続くのです。

お礼

回答、ありがとうございます。
公式だからと思っていたことが、皆さんの回答を拝見すると
納得するものがあり、興味関心が深まります。