• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

(1)円に内接する三角形の内面積最大となるものを求めよ。

  • 質問No.3985868
  • 閲覧数2089
  • ありがとう数8
  • 気になる数0
  • 回答数8
  • コメント数0

お礼率 92% (26/28)

(解答)
半径1の円の中心Oから円周へ3本の線を引くとする。
円周と各々の線の交点(A,B,C)を頂点とする三角形の面積は
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA である。
∠AOB、∠BOC、∠COAをそれぞれα、β、γとすれば
当然α+β+γ=2πである。
さて、△ABCの面積Sは公式より
S=1/2 ×(sinα+sinβ+sinγ)
である。
ここでsinα+sinβ+sinγを最大のとき三角形の面積は最大になる。
γ=2π-(α+β)
なので、上式からγを消去すると
f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
f'=cosα-sin(α+β)-cos(α+β)
 =cosα-{sin(α+β)+cos(α+β)}=0
cosα=sin(α+β)+cos(α+β)
=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ
したがってα=β
よって面積が最大となるのは、α=β=γのとき、
すなわち△ABCが正三角形のときである。

上のように解いたのですが、説明は十分でしょうか?
助言をお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 18% (459/2509)

>ここでβを固定してαのみの関数と考え、αについて微分すると
>(中略)
>したがってα=β

図形的に考えると、角βを固定して、面積が最大になるのは点Aが丁度反対側にある場合だと思います。
なので結論がおかしそうですが、どうですか?
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:47

その他の回答 (全7件)

  • 回答No.8

ベストアンサー率 30% (149/488)

今頃、書き間違いに気がついた。。。。。。苦笑

>√{(1-cosβ)^2+(sinβ)^2}+sinβ=cos(β/2)+sinβ として、求める。


             ↓


√{(1-cosβ)^2+(sinβ)^2}+sinβ=sin(β/2)+sinβ として、求める。

ついでに言っとくが、いずれにしても微分は使うが、面倒な計算は避けたい。
従って、sin(β/2)+sinβ から先での微分には、少し頭を使おう。
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:43
  • 回答No.7

ベストアンサー率 55% (246/440)

#6 ごめん文字化け 訂正
α + β = 2π - γ = φ,  0 < φ < 2π
とおいて、α = β = φ/2 のときに面積最大となることを示せばよい。丁寧に展開すると、
sinα + sinβ + sinγ
= sinα + sin(φ - α) + sinγ
= sinα + sinφ cosα - sinα cosφ + sinγ
= (1 - cosφ) sinα + sinφ cosα + sinγ
= 2(sin(φ/2))^2 sinα + 2 sin(φ/2) cos(φ/2) cosα + sinγ
= 2 sin(φ/2){sin(φ/2) sinα + cos(φ/2) cosα} + sinγ
= 2sin(φ/2)cos(α - φ/2) + sinγ
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:44
  • 回答No.6

ベストアンサー率 55% (246/440)

質問者さんの解答の流れに従うと、一つの角度を固定したとき(即ち、内接三角形の一辺を固定したとき)、内接三角形の面積を最大にするのは残りの2つの角度が等角であるとき(即ち、二等辺三角形であるとき)であり、そこから正三角形の時に面積最大となることを言いたいのでしょう。
であれば、
α, β, γ のうちγを固定して、
α + β = 2π – γ = φ,  0 < φ < 2π
とおいて、α = β = φ/2 のときに面積最大となることを示せばよい。丁寧に展開すると、
sinα + sinβ + sinγ
= sinα + sin(φ – α) + sinγ
= sinα + sinφ cosα – sinα cosφ + sinγ
= (1 – cosφ) sinα + sinφ cosα + sinγ
= 2(sin(φ/2))^2 sinα + 2 sin(φ/2) cos(φ/2) cosα + sinγ
= 2sin(φ/2)cos(α – φ/2) + sinγ
∴ γを固定(φを固定)したときに面積を最大にするのは α = φ/2 = β
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:44
  • 回答No.5

ベストアンサー率 30% (149/488)

質問者の方法に従うのなら以下のようにすればよい。
但し、高校数学に、偏微分は使えない。

F=sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))=sinα+sinβ-sin(α+β)=
(1-cosβ)sinα-sinβcosα+sinβ≦√{(1-cosβ)^2+(sinβ)^2}*cos(α+θ)+sinβ≦
√{(1-cosβ)^2+(sinβ)^2}+sinβ=cos(β/2)+sinβ として、求める。
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:45
  • 回答No.4

ベストアンサー率 30% (149/488)

簡単な方法がある。

sinαは0<α<πにおいては上に凸関数である。
従って sinα+sinβ+sinγ≦3*sin{(α+β+γ)/3}が成立し、等号はsinα=sinβ=sinγ 即ち α=β=γの時、
すなわち△ABCが正三角形のときである。

凸関数については、検索すれば出てくるでしょうから、自分で検索して調べてください。
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:45
  • 回答No.3

ベストアンサー率 62% (416/669)

No2さんのご指摘の通りだと思います。sin(2π-(α+β))=-sin(α+β)のはずです。
しかし、このような問題はラグランジュの未定乗数法をつかうと見通しがよいのではないですか。f(x,y)=0という条件のもとでh(x,y)の極値を求める問題では、未定の乗数をλと書いてψ(x,y)=h(x,y)-λf(x,y)をつくり、これをx, y, λの其々で偏微分したものをゼロと置くのです。
今の例では
h(α,β,γ)=sinα+sinβ+sinγ
f(α,β,γ)=α+β+γ-2π
とし
ψ(α,β,γ)=h(α,β,γ)-λf(α,β,γ)
について
∂ψ/∂α=0, ∂ψ/∂β=0, ∂ψ/∂γ=0, ∂ψ/∂λ=0
ですから、これらより
cosα-λ=0, cosβ-λ=0, cosγ-λ=0, α+β+γ-2π=0
を得ます。これから2πのずれを除いてα=β=γ=2π/3になりますね。ちなみにこの時λ=cos(2π/3)ですから-1/2になっています。
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:46
  • 回答No.2

ベストアンサー率 55% (246/440)

逆に見ていって・・・ #1 さんに追加

・ 「したがって α = β」??
・ f ' = 0 を最大値の条件とした根拠
・ f'=sinα+sinβ+sinγ
=sinα+sinβ+sin(2π-(α+β))
=sinα+sinβ+cos(α+β)-sin(α+β)
2行目から3行目の変形はおかしくないですか?
お礼コメント
mabshi

お礼率 92% (26/28)

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。
投稿日時:2008/05/09 21:46
結果を報告する
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。
AIエージェント「あい」

こんにちは。AIエージェントの「あい」です。
あなたの悩みに、OKWAVE 3,600万件のQ&Aを分析して最適な回答をご提案します。

関連するQ&A

その他の関連するQ&Aをキーワードで探す

ピックアップ

ページ先頭へ