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３辺の長さがわかる場合の三角形の面積
四面体OABCがあり、∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝９０°、OA＝a、OB=ｂ、OC=cとする。 (1)三角形ABCの面積をSとする。Sをa,b,cを用いて表せ (2)a^2+b^2+c^2=1のときSの最大値を求めよ 三平方の定理より、AB=√(a^2+b^2)、BC=√(b^2+c^2)、CA=√(c^2+a^2) とわかるのでそこから「ヘロンの公式」を利用して面積を求めようと思ったのですが、いくら計算しても複雑でなかなかまとまりません 簡単にSを求める方法はあるでしょうか？ 回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします
- eiiewo
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今、Oを原点とするとA,B,Cはそれぞれ(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)と表せます。 するとベクトル↑AB,↑ACの成分はそれぞれ(-a,b,0),(-a,0,c)です。 ベクトルAB,ACで形成される三角形の面積はベクトルの外積を用いると S=1/2|↑AB×↑AC| です。↑AB×↑AC の成分は(bc,-ac,-ab)ですから S=1/2*√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) となります。
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- Tacosan
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基本線は #2 でいく. O からの距離は平面ABC の方程式をたてて「点と平面の距離」で考える.
- tomo_momo
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すみません、間違えました。交わる点はそこではないです。垂線の方向ベクトルは (1/a, 1/b, 1/c) ですか？ なら、（1/a,1/b, 1/c) t とかおいて、t を求めて、交わる点を求めて、垂線の長さを求めて、簡単そうですね。
- tomo_momo
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直感的には、この四面体の体積を2通りの方法で計算する。 A(a,0,0) B(0,b,0), C(0,0,c) などとおくと、 この体積は明らかに abc/6 ところで、平面ABCにOから垂線を下ろすと、これが、（a/3,b/3,c/3) で交わるんだな。 なら、距離は簡単にもとまり、Sと距離の掛けたものの3分の一が はじめに求めた体積になる。
- kakkysan
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ごりごりと計算していくなら、ヘロンを使うより、余弦定理を利用した方が計算は楽だし速いようです。 例えば cos∠ABCを求める sin∠ABCを求める S=(1/2)BA*BC*sin∠ABC で計算してみてください
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