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円に内接する多角形の面積の公式
円に内接する多角形の面積の公式 円に内接する多角形の面積の公式 円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、(それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式) 円に内接する多角形の面積を求める公式はあるのでしょうか。 あるとすれば、その公式の名前、あるいはその公式が載っているURLを教えてください。 ないとすれば、なぜないのか(つくることの不可能性)を知っていれば教えてください。 取り合えず、あるかないかだけでも教えてください。 よろしくお願いします。
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5角形以上でも各辺の長さが既知なら、外接円は決まると思いますよ。 外接円の半径が決まれば当然面積が決まります。 多角形の各辺の長さをa1,a2,・・・,an、 外接円の半径をr、 各辺に対応する中心角をθ1,θ2,・・・,θnとすると、 θ1+θ2+・・・+θn=2π sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r (k=1,2,・・・,n) 面積Sは、 S=Σ[k=1~n]ak*r*cos(θk/2)/2 =Σ[k=1~n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2 問題は、rが求められるかどうかですが、 sin(θ1/2+θ2/2+・・・+θn/2)=0 を加法定理で分解し、 sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r を代入して、rに関する方程式にして解けばいいはずです。 でも5角形以上で解けるかどうかは難しいでしょうね。 数値解析で求めるなら可能ですが。
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- spring135
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>円に内接する多角形 すべての頂点が円周上にある多角形と理解するならば、円の中心と隣り合う2つの頂点を結ぶ三角形は 半径rを二等辺とする三角形となり、その三角形の頂角(中心角θi)が解ればこの二等辺三角形の面積が決まります。 よって問題の円に内接する多角形の面積Sは S=Σ(i=1→n)r^2・sinθi/2 ただしΣ(i=1→n)θi=2π r,θi(i=1→n)が指定できればこの面積は確定します。
お礼
回答ありがとうございます。 僕の考えたところでは、全ての辺の長さと、 1つ内角が分かれば、面積が求まると思います。
- rabbit_cat
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円に内接する多角形という条件だけでは、そもそも、5角形以上では図形が1つに決まりません。 もちろん面積も決まりません。
お礼
え!!そうなんですか? じゃあ、1つの角度か、外接円の半径が分かればできますか?
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お礼
回答ありがとうございます θはどうしましょう?