３角形の外接円に関する問題です

質問

問題はxy平面に置いて３本の直線によってかこまれる３角形があって、D{(x,y)|(x-a)^2 + (y-b)^2≦R^2, R>0}がその３角形をを含むようなRの最小値とa,bの値を求めよという問題です。解答ではその円の中心はその３角形の外接円の中心だとして、垂直２等分線の交点が(a,b)だとして解いています。

疑問に思ったのは、円をだんだん小さくしていくときに、３角形の各頂点に同時に引っかかるということがイメージできません、ある一点が最初に円に当たるということはなにでしょうか？どんな三角形でも外接円をきれいに持つということがわからないのですが。どう考えればすきっとするのでしょうか？

回答No.5

kony0 · ベストアンサー

問題をよく読みましょう。
もとの問題は、三角形の３頂点が円周上に乗っていることを要請していませんし、外接円の半径を求めなさいとも言っていません。
むしろ鈍角三角形の場合は、Rが最小となるのは、領域Dが三角形の外接円「でない」ことに力説をおいています。

鈍角三角形で最長辺を直径とする円を描いたとき、三角形はその円の中に含まれます。
よって、(a,b)を最長辺の中点、Rを最長辺の長さの半分（仮にl/2とでもしましょう）としたときに題意を満たすことが言えます。・・・(1)
また、Rが最長辺の長さの半分未満としたとき、(a,b)をどのようにとっても三角形が領域D内に含まれないことは、最長辺が円内におさまらないことから言及済みです。・・・(2)
さらに、領域Dを鈍角三角形の外接円の内部および周上とした場合、三角形は確かにこの領域内に含まれるのですが、このときの半径（=外接円の半径）はl/2より長いことを既に述べています．・・・(3)
(1)(2)から、もとの問題に対するRの最小値はl/2であることがいえ、(3)から鈍角三角形のときにはこの問題の答えとして外接円を考えること自体がそもそも間違っていることを言及しているわけです。

ビジュアル的には、まず鈍角三角形に対して外接円をかいて、そのあと三角形をちょっと中心よりにずらすと、３頂点とも円の内部に含まれる状態が考えられますよね？ということは、外接円の半径よりももっと領域を狭くしても三角形を含めることができるわけです。

間違った解答をもとに、外接円の半径を求めることに終始されていませんか？くれぐれもRは「外接円の半径」ではないのでご認識を！

おそらく、文章を推敲せずに回答を書いている私の責任で、space-travelさんを混乱させてしまっているのだと思います。。。すみません。

お礼

こんにちは！お返事ありがとうございまっす！！
kony0さんの仰っていることがわかりました！！鈍角三角形の場合、Rが最小となるのは、領域Dが三角形の外接円「でない」も納得です。

＞ビジュアル的には、まず鈍角三角形に対して外接円をかいて、そのあと三角形をちょっと中心よりにずらすと、３頂点とも円の内部に含まれる状態が考えられますよね？ということは、外接円の半径よりももっと領域を狭くしても三角形を含めることができるわけです。

すばらしくわかりやすいです！気づいたときハッしました。NO,1でご親切に鈍角三角形のことについて触れていただいたおかげで、自分の間違いを直すことができました。このままいってたらきっと間違ってたと思います。

＞おそらく、文章を推敲せずに回答を書いている私の責任で、space-travelさんを混乱させてしまっているのだと思います。。。すみません。

そんなことありませーーん！わたしがあほなだけです！！でも何度もご説明していただいたのでこんな私でも理解することができました。問題文をもう一度読み返しますと、３本の直線で囲まれる３角形は鋭角三角形でした。問題文を書かずに投稿してしまったことで、具体的な鋭角三角形であるところを、一般的な三角形のように誤解を与えてしまったことをお詫びします。でもkony0さんに指摘されていないと、「これは一般的な三角形についても言えることなんだな」と勘違いして覚えてしまってたところなので、良かったです。どうもありがとうございました！！！

回答No.4

kony0

あぁ、1点付け加えるのを忘れていました。
「円周上の2点を結ぶ線分は、その円の直径より長くない。また長さが等しくなるのは、2点を結ぶ線分が直径のときに他ならない」・・・（＊）
ということなので、「最長辺÷２」未満の半径の円をかいても、最長辺は円内に収まりきりません。（←これが抜けてました）
また、最長辺を直径とする円を描いたとき、第3の頂点は（鈍角三角形ならば）この円の中にある。（ここで用います）
ということで、最長辺を直径とする円が半径最小。

（＊）の証明は必要でしょうか？
線分のどちらかの端点を通る直径を引いて、直角三角形の斜辺（＝直径）に対して他の辺（＝線分）の長さは短いですよね。

もちろん直角三角形のときでも、最長辺÷２が最小であることはいえますが、これは外接円の半径と一致するため、質問文のなかにある解答で間違いではないのです。
ただし、鈍角三角形のときは、外接円の半径＞最長辺÷２なので、そもそも質問文の解答自身、間違ってます。

お礼

すみません、根本的にちょっとわからなくなてきたのですが、どんな三角形でもそれぞれに外接円は持つんですよね？そうすると、ひとつの鈍角三角形とひとつの外接円が一対一対応するわけで、そうすると、Rは変化しないと思うのですが・・・。直角三角形の９０°を有する頂点をどんどん下に押しつぶしていったときにRが変化すると言うことですか？それと、直角三角形と鈍角三角形は別の物だと思うのですが・・・。

回答No.3

kony0

「鈍角三角形の場合は、Rの最小値って（最長辺）/2」について
・鈍角三角形の外接円の中心は、三角形の外側にできる
・円の中心と最長辺とでできる（二等辺）三角形の成立条件を考えると、外接円の半径は最長辺/2よりは真に大きい。
ことがまず言え、
・今度は最長辺を直径とする円を描くと、鈍角三角形ならば、第3の頂点はその円の内部にくる。
・もちろんこれより半径を小さくしてしまうと、最長辺が円の中に収まらない。
ということから、鈍角三角形ならRの最小値って（最長辺）/2ということが直ちに言えるのではないかと思うのですが。

お礼

>円の中心と最長辺とでできる（二等辺）三角形の成立条件を考えると、外接円の半径は最長辺/2よりは真に大きい。
ここはわかるのですが、

＞今度は最長辺を直径とする円を描くと、鈍角三角形ならば、第3の頂点はその円の内部にくる。
ここがわかりません。仰っている内容はわかるのですが、そこから何が言えるのでしょうか？

＞鈍角三角形ならRの最小値って（最長辺）/2ということが直ちに言えるのではないかと思うのですが。
すみません、その最小値をとるときって、鈍角三角形ではなくて、直角三角形のときではないでしょうか？

回答No.2

Mell-Lily

平面に三角形が与えられたとき、これを含む円は簡単に書くことができます。この円の中心を動かさずに、半径を小さくしていきますと、やがて三角形の頂点が円に掛かります。このとき、初めの円の書き方によっては、一つの頂点のみが掛かることもありますし、二つの頂点が同時に掛かることもあります。さて、三角形の三つの頂点が同時に円に掛かるようにすることはできることでしょうか？
結論から言いますと、最初の円の中心を三角形の外心にとれば、これはできるというになります。△ABCの二つ辺ABとACの垂直二等分線を書きます。この二直線は一点Oで交わりますが、△OABと△OACは二等等辺三角形です。よって、OAとOBとOCは等しく、点Oを中心として、半径OAの円を書けば、頂点A、B、Cは、全てこの円に掛かることになります。

お礼

お返事ありがとうございました。どうやら、私のイメージの仕方がまずかったようですね。間違った考えを修正できて良かったです。どうも助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

kony0

どんな三角形でも外接円をきれいに持ちます。
（略証）
△ABCにおいて、AB,ACの垂直二等分線をひき、その交点をOとする。
すると△OAB, △OACはともに二等辺三角形なので、OA=OB=OC
これはOが△ABCの外接円の中心であることに他ならない。（終）

ちなみに、このあと、OからBCに垂線を下ろし、足をHとすると、BH=CHもいえます。
すなわち、３辺の垂直二等分線が１点で交わることがいえるわけです。

イメージとしては、ある辺の両端を通る円（中心はその辺の垂直二等分線上）を考えて、はじめは三角形をすっぽり包む状態からだんだんしぼめていくと、やがては３つめの頂点に触れる円ができますよね？
ちなみに、平面上で円は位置情報（x,y座標）と半径(R)の３つの数字が決まれば一意に決まるわけですから、逆にいうと３点を通る円は必ず存在し、一意に定まります。だから任意の三角形に対して外接円は存在することがいえます。

ところで、鈍角三角形の場合は、Rの最小値って（最長辺）/2ではないんですか？

お礼

こんにちは。お返事ありがとうございます。
とてもわかりやすいご説明で納得できました。

＞ところで、鈍角三角形の場合は、Rの最小値って（最長辺）/2ではないんですか？

そうなんですか！？初めて聞きました。もしそうなら、その証明法もぜひ聞かせてください！！