軌跡の問題について

質問

軌跡と領域の問題の質問です。

（1）座標平面上で点（0,2）を中心とする半径１の円をＣとする。Ｃに外接しｘ軸に接する円の中心（ａ、ｂ）が描く図形の方程式を求めよ。

（2）ｘ＾2＋ｙ＾２-4ｘ-2ｙ＋3≦0かつｘ＋3ｙ-3≧0の領域でｘ＋ｙのとりうる値の範囲をもとめよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

（1）座標平面上で点（0,2）を中心とする半径１の円をＣとする。Ｃに外接しｘ軸に接する円C'の中心（ａ、ｂ）が描く図形の方程式を求めよ。

円C'の半径をrとするとこれはbに等しい。ゆえに

2円の中心間距離＝√[a^2+(b-2)^2]=1+r＝1+b

両辺を２乗して整理すると

b=(a^2+3)/6

すなわち円C'の中心(a,b)の描く図形は放物線y=(x2+3)/6である。

（2）ｘ＾2＋ｙ＾２-4ｘ-2ｙ＋3≦0かつｘ＋3ｙ-3≧0の領域でｘ＋ｙのとりうる値の範囲をもとめよ。

ｘ＾2＋ｙ＾２-4ｘ-2ｙ＋3≦0を整理すると

(x-2)^2+(y-1)^2≦2

これは中心(2,1),半径√2の内部（周を含む）である。（1）

ｘ＋3ｙ-3≧0より

x/3+y≧1

これは切片を(3,0),(0,1)とする直線の上側である。（2）

(1),(2)を図示しx+y=kの直線をkを変化させながら動かしてみると

(A)(1)の円の上側に接する場合にkが最大となる。

(x-2)^2+(y-1)^2=2とx+y=kからｙを消去しxに関する方程式を求めると

2x^2-2(k+1)x+k^2-2k+3=0

D/4=(k+1)^2-2(k^2-2k+3)=-(k-1)(k-5)

円と直線が接するためにD=0これよりk=1または5、直線が円の上側に接するためにk=5

(B)(1)の円と(2)の直線の交点のy軸に近いほうを通る場合kが最少となる。

これらの交点は

(x-2)^2+(y-1)^2＝2

x＋3ｙ-3=0

を満たす。x=3-3yとして円の式に代入し、整理すると

y(y-4/5)=0, y=0または4/5, このときxは各々x=3,3/5

y軸に近いのは(3/5,4/5),このときk=7/5

以上より

7/5≦k≦5