数学の問題で困っています!円の中心と共通点の範囲を求める方法を教えてください!
- 数学の問題でわからないところがあります。回答がないので、途中式もわからず困っています。どうか教えてください。
- 問題は座標平面上にある円と三点の関係を求めるものです。円の中心と半径、中心の軌跡の方程式を求める問題です。
- また、円と領域が共通点を持つようなtの値の範囲、および領域上を動く点のx-2yの最大値も求める必要があります。
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高校の問題です
数学の問題でわからないところがあります。回答がないので、途中式もわからず困っています。どうか教えてください。 問題。 座標平面上に、円K:x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0と三点A(2,3),B(-4,0),C(2,0)がある。ただし、tは実数とする。また、△ABCの周および内部の領域をDとする。 (1)円Kの中心と半径を求めよ。また、円Kの中心の軌跡の方程式を求めよ。 (2)円Kと領域Dが共通点を持つようなtの値の範囲を求めよ。 (3)tが(2)の範囲を動くとき、円Kが通過する領域をEとする。点(x,y)が領域E上を動くとき、x-2yの最大値を求めよ。 良ければよろしくお願いします
- speeddemon
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(1) 円K:x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0 ...(A) 標準形になおすと (x-t)^2+(y+2t)^2=1 ...(B) 円の中心は(t,-2t), 半径は 1 円の中心(x,y)=(t,-2t) x=t, y=-2t tは実数の範囲を動くからxも実数の範囲を動く。 円Kの中心の軌跡の方程式はtを消去して y=-2x ...(C) (2) 領域Dは添付図の△ABCの内部及び周となる。 円Kと領域Dが共通点を持つようなtの上限 (B)がx軸の下側から接するとき -2t=-1 ∴t=1/2 ...(D) 円Kと領域Dが共通点を持つようなtの下限 (B)が辺AB:x-2y+4=0の上側から接するとき -(t+4t+4)/√5=1 ∴t=-(√5+4)/5 ...(E) 従って円Kと領域Dが共通点を持つようなtの範囲は (D)、(E)から -(√5+4)/5≦t≦1/2 ...(F) (3) 領域Eは添付図の緑の領域のようになる。 点(x,y)が領域E上を動くとき x-2y=a ...(G) とおくと aが最大となるときは、(G)を書き直した y=(x-a)/2 ...(H) この(H)が添付図の接点Uを通るときで、接点Uの座標は 半径1で中心M(1/2,-1)の円:(x-(1/2))^2+(y+1)^2=1 ...(H) と(C)との交点として U((1/2)+(1/√5),-1-(2/√5)) ...(I) が求まる。 Uの座標を(G)に代入すると x-2yの最大値 a=(5/2)+√5 が求まる。
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- yyssaa
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(1)円Kの中心と半径を求めよ。また、円Kの中心の軌跡の方程式を求めよ。 >x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=(x-t)^2-t^2+(y+2t)^2-4t^2+5t^2-1=0 から、(x-t)^2+(y+2t)^2=1、よって 円Kの中心:(t,-2t)、半径:1・・・答 円Kの中心の軌跡の方程式:y=-2x・・・答 (2)円Kと領域Dが共通点を持つようなtの値の範囲を求めよ。 >円Kと領域Dが共通点を持つのは、中心がy=-2x上にある半径1の 円kが領域Dと共通点を持つ場合であるので、tの値の範囲は、円kが 直線BC(x軸)に接するときのtの値と、円kが直線ABに接するときのt の値の間となる。 (ア)直線BC(x軸)に接するときのtの値は、x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0 とy=0が重根を持つ場合のtなので、x^2-2tx+5t^2-1=0の根の判別式 4t^2-4(5t^2-1)=-16t^2+4=0からt^2=1/4、t=±1/2、このうち円kが x軸の下側にあるときのtはt=1/2・・・(ア) (イ)同様に直線ACの方程式はy=(1/2)x+2なので、y=(1/2)x+2を x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0に代入して5x^2+8x+12+32t+20t^2=0 判別式=0から25t^2+40t+11=0を解いてt={-40±√(1600-100*11)}/50 =(-40±√500)/50=(-40±10√5)/50=(-4±√5)/5、このうち円kが 直線ACの上側にあるときのtはt=(-4-√5)/5・・・(イ) (ア)(イ)より(-4-√5)/5≦t≦1/2・・・答 (3)tが(2)の範囲を動くとき、円Kが通過する領域をEとする。点(x,y)が領域E上を動くとき、x-2yの最大値を求めよ。 >x-2y=αとおくと、y=(1/2)x-α/2、よってαが最大になるのは 直線y=(1/2)x-α/2が領域Eを通過する範囲内で最も下がったとき (y切片が最小になったとき)であり、それは円kがx軸に下側から 接しているとき(t=1/2のとき)に円kと直線y=(1/2)x-α/2とが接する ときである。よってx^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0にt=1/2を代入して x^2+y^2-x+2y+1/4=0、これにy=(1/2)x-α/2を代入、整理して 5x^2-2αx+α^2-4α+1=0、この判別式=0から4α^2-20(α^2-4α+1)=0 4α^2-20α+5=0、これを解いてα={20±√(400-16*5)}/8 =(20±√320)/8=(20±8√5)/8=(5±2√5)/2、このうち直線が円k に下側から接するのはα=(5+2√5)/2のとき。よって x-2yの最大値は(5+2√5)/2・・・答
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