数学の領域の問題です

質問

問題
xy平面上において、3点A(0,1)、B(1,0)、C(2,2)があり,△ABCの内部および周上を領域Ｄとする。このとき、次の(1)～(3)の各問いに 答えなさい。
（1）領域Dを表す不等式を求めよ。
（2）△ABCの内接円の中心Iの座標を求めよ。
（3）点P(x，y)が領域Dを動くとき、次の(1)、(2)の各問いに答えよ。
　(1)x^2＋y^2-4xの最大値と最小値を求めよ。
　(2) ax+yの最小値を求めよ。ただし，aは定数とする。
という問題です。
解答を見ても分からないところがあり解説していただくとありがたいです。よろしくお願いします。解答は次の通りに書いてありました。

(1)　(解けました。)
y≧-x+1、y≧2x-2、ｙ≦1/2ｘ+1
(2)(分からないところがありました。)
Ｉ(s,t)とおく。点Iと(1)で求めた3つの直線の距離は等しいから
｜s+t-1｜/√2　＝｜2s-t-2｜/√5　＝｜s-2t+2｜/√2　　となる。
ここで、点Iは領域D内の点であるから、(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より
s+t-1　/√2　＝-(2s-t-2)/√5　＝s-2t+2　/√2　これを解いてs=t=√10 +2 / 6
よって(√10 +2 / 6, √10 +2 / 6)
(3)(1)(解けました。)
　　x＾2＋y^2-4x＝kとおくと、(x-2)^2＋y^2＝k+4より　中心(2，0)、半径√(k+4)
kの最大は点A(0，1)を通るとき
点A(0，1)　をx2＋y2-4x＝kに代入してk＝1
Kの最小は直線BCと接するとき
円の中心(2,0)と直線BCの距離は　｜2×2-0-2｜/√5＝2/√5
√(k+4)＝2/√5
ｋ＝-16/5
よって最大値1　最小値-16/5
(2)(分かりませんでした。)
ax+y=kとおくとy=-ax+kとなる
(i)-a≦-1すなわちa≧1のとき
Kの値が最小となるのは点A(0,1)を通るときで、このときk=1
(ii)-1<-a≦2すなわち-2≦a＜1のとき
Kの値が最小になるのは点B(1,0)を通るときで、このときk=a
(iii)2＜-aすなわちa<-2のとき、
Kの値が最小になるのは点C(2,2)を通るときで、k=2a+2
以上より
ax＋yの最小値は、
a≧1のとき(x,y)＝(0,1)のとき、最小値1
-2≦a＜1のとき(x,y)＝(1,0)のとき最長値a
a＜-2のとき(x,y)＝（2，2）のとき最小値2a＋2

質問は以下の4つです。
1つ目
(2)の問題で、「(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より」の条件が書いてありますが、この不等式は点I(s,t)を(1)の式に代入して求めたのでしょうか？
2つ目
(2)の問題で、「s+t-1　/√2　＝-(2s-t-2)/√5　＝s-2t+2　/√2　これを解いてs=t=√10 +2 / 6」と書いてあるのですが、どのように計算したのでしょうか？
3つ目
(3)(2)の問題で、3つに場合分けをしていますが、どうしてこの3つに分けられるのですか？この分け方がよく分かりません。
4つ目
(3)(2)の問題で、場合分けをし、「(iii)2＜-aすなわちa<-2のとき、Kの値が最小になるのは点C(2,2)を通るときで、k=2a+2」と書いてありますが、なぜ、点Cなのでしょうか？点Aではだめなのでしょうか？
傾きが同じであったらいいような気がします。また、(i)(ii)でも疑問があります。

この4点の解説をお願いします。

回答No.2

info222_

(2)
>(分からないところがありました。)
>Ｉ(s,t)とおく。点Iと(1)で求めた3つの直線の距離は等しいから
>｜s+t-1｜/√2　＝｜2s-t-2｜/√5　＝｜s-2t+2｜/√2　　となる。
間違い。
正解：｜s+t-1｜/√2　＝｜2s-t-2｜/√5　＝｜s-2t+2｜/√5

>質問1つ目
>(2)の問題で、「(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より」
>の条件が書いてありますが、この不等式は点I(s,t)を(1)の式に
>代入して求めたのでしょうか？
その通りです。

>>ここで、点Iは領域D内の点であるから、(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より

>質問2つ目
>(2)の問題で、「(s+t-1)/√2＝-(2s-t-2)/√5＝(s-2t+2)/√2　
>これを解いてs=t=(2+√10)/6」と書いてあるのですが、
>どのように計算したのでしょうか？
解く式が間違ってるのでどのように計算しても
正しい結果は得られません。

>(s+t-1)/√2＝-(2s-t-2)/√5＝(s-2t+2)/√2　←間違い
正しい式：(s+t-1)/√2＝-(2s-t-2)/√5＝(s-2t+2)/√5
これを解けば

>これを解いてs=t=（2+√10)/ 6
>よって((2+√10) /6, (2+√10)/6)
という結果が得られます。
=pとおいて分母を払ってs,t,pの連立方程式を解けば簡単に解けます。

>質問3つ目
>(3)(2)の問題で、3つに場合分けをしていますが、どうしてこの3つに分けられるのですか？
>この分け方がよく分かりません。

ay+x=kとおいたとき、kが最小となるときは、３点A,B,Cのいずれかを通るときなので、
それぞれに対応して、3つに場合分けが必要になります。

>質問4つ目
>(3)(2)の問題で、場合分けをし、
>「(iii)2＜-aすなわちa<-2のとき、Kの値が最小になるのは点C(2,2)を通るときで、
>k=2a+2」と書いてありますが、なぜ、点Cなのでしょうか？

直線ay+x=kが点C(2,2)を通るときのグラフを描いてみて下さい。
kが最小になるときのaの範囲を考えてみてください。そうすれば判るでしょう。

>傾きが同じであったらいいような気がします。また、(i)(ii)でも疑問があります。

点A,点Bについても同様にグラフを描いて考えてみてください。
>点Aではだめなのでしょうか？

だめですね。点Cで最小となる場合を考えているときに、なぜ最小とならない点Aのことをわざわざ考えようとするのでしょうか？グラフをちゃんと描いて考えてください。

>傾きが同じであったらいいような気がします。
点Cを通るときにkが最小となる場合にはaが変わると直線ay+x=kは点Cを中心に回転しるだろう！
傾きはaの値によって変化します。

>また、(i)(ii)でも疑問があります。
点A,点Cを直線ay+x=kが通りkが最小になる場合についても同様です。各場合について、実際にグラフを描いて、kが最小値をとる時の直緯の傾きの範囲とaの範囲を考えてみれば解決できるでしょう。

回答No.1

yyssaa

1つ目
(2)の問題で、「(1)より、s+t-1≧0、2s-t-2≦0、s-2t+2≧0より」の条件が書いてありますが、
この不等式は点I(s,t)を(1)の式に代入して求めたのでしょうか？
＞その通り。
2つ目
(2)の問題で、「s+t-1　/√2　＝-(2s-t-2)/√5　＝s-2t+2　/√2　これを解いてs=t=√10 +2 / 6」と書いてあるのですが、
どのように計算したのでしょうか？
＞式が違う。正しくは　s+t-1　/√2　＝-(2s-t-2)/√5　＝s-2t+2　/√5。
-(2s-t-2)/√5　＝s-2t+2　/√5からs=t
s+t-1　/√2　＝-(2s-t-2)/√5に代入して
s=(2√2+√5)(2√5-√2)/{(2√5+√2)(2√5-√2)}=(√10+2)/6
3つ目
(3)(2)の問題で、3つに場合分けをしていますが、どうしてこの3つに分けられるのですか？この分け方がよく分かりません。
＞y=-ax+kでkは直線y=-ax+kがy軸を横切る点のy座標(y切片)だから、
この直線がDを通過する範囲でのkの最小値は、Dの境界を表す3直線の傾斜
との関係で決まる。図を描いて考えれば明らか。
4つ目
(3)(2)の問題で、場合分けをし、「(iii)2＜-aすなわちa<-2のとき、Kの値が最小になるのは点C(2,2)を通るときで、k=2a+2」と書いてありますが、なぜ、点Cなのでしょうか？点Aではだめなのでしょうか？
傾きが同じであったらいいような気がします。また、(i)(ii)でも疑問があります。
＞2＜-aということは直線y=-ax+kの傾斜が直線BCより急になるのだから、
その状態で直線y=-ax+kのy切片が最小になるのは直線y=-ax+kが点C(2,2)を通るときになる。
x=y=2を代入してk=ax+y=2a+2。
図を描いて、傾斜が直線BCより急な直線を上下に動かして、Dを通過する範囲内でy切片が
最小になるのはどういうときかをみれば、明らか。