円の領域と直線の交点について

質問

以下の問題について、ご教示宜しくお願い致します。

x^2 ＋y^2≦１、x≧０、y≧０の表す領域をDとする。
(1)Dと直線ｍ：y=－2x＋ｋが共有点を持つ時、ｋの範囲を求めよ。
(2)(1)の直線ｍの領域Dに含まれる線分をLとする。L＝１の時、ｋの値を求めよ。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

この問題は正確な図を描くことができれば半分解けたようなものです。(2)だけ解きます。
直線m:y=-2x+k と　問題の領域Dの四分円(扇型）の周囲との交点の位置はkの値によって次のように変化します。

（１）k=0 のとき　　　原点で接する
（２）0<k≦1 　のとき　一方はy軸上（k=1のときy軸と円弧の交点）、もう一方はx軸上
（３）1<k≦2　のとき　一方は円弧上、もう一方はx軸上（k=2のときx軸と円弧の交点）
（４）2<k<√5 のとき　両方とも円弧上
（５）k=√5　のとき　　円弧上の1点で接する　

ここで線分Ｌの長さが１となる可能性があるのは（２）と（３）の場合です。（４）はk=2 のときL＝2√5/5<1だからあり得ません。

（２）のとき交点C,DはそれぞれC(0,k)、D((k/2),0) だから、L=1 より L^2=k^2+(k/2)^2=1, 5k^2=4 より、k=2/√5

（３）のときCEはｘ軸に平行だから、y=2/√5をx^2+y^2=1に代入して解くとx=1/√5　
y=-2x+k　が　E(1/√5,2/√5)を通るから、このx,yの値を代入すると　k=2x+y=4/√5

答え　k=2/√5 または　k=4/√5

なおこの問題で単純にy=-2x+k を　円の式x^2+y^2=1に 代入してxの2次方程式を作り、2つの解の差を求めて…という方法では困難です。グラフを見れば明らかですが、題意を満たすのは片方の交点だけがx^2+y^2=1上にあるときだからです。（x≧0，y≧0という「意地悪な」条件がここで効いているのです。）

お礼

どうも有難うございました。

回答No.4

bran111

#1です。

あなたの言う通りです。Dを第1象限と取り間違えていました。円とx軸、y軸の交点をA,BとするとL＝1となるのはｍがAより右側を通る場合です。つまり2根α、βはｍと円の第1象限における交点となり
L/|α-β|=√5
の関係があるので（確認してください）
(α-β)^2=1/5
が条件になります。
α、βは
5x^2-4kx+k^1-1=0
の2実根で解と係数の関係により
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(4k/5)^2-4(k^2-1)/5=1/5
これを解いて
k=√15/2
が正解です。
Dを取り違えていてご迷惑をかけました。

お礼

どうも有難うございました。

回答No.3

info222_

この問題を解くには領域Ｄ
D: x^2 ＋y^2≦１、x≧０、y≧０
の図（水色の斜線部、境界を含む）と直線mの図を描いてください（添付図のように図と補助線や特徴点に記号を割り振ってください）。

(1)Dと直線ｍ：y=－2x＋ｋが共有点を持つ時、ｋの範囲を求めよ。
添付図の領域Ｄを直線ｍが通過するようなｋの範囲を求めればよい。
原点Ｏ(0,0)と直線mとの距離の公式を用いて
　0≦|-2*0-1*0+k|/√((-2)^2+(-1)^2)≦1 (k≧0)
　0≦k/√5≦1
Ans. 0≦k≦√5

(2)(1)の直線ｍの領域Dに含まれる線分をLとする。L＝１の時、ｋの値を求めよ。
添付図で
４分円およびＸ軸およびY軸と直線m(EF)の交点E, F, E' EからX軸に下ろした垂線の足をHを求めると
F(k/2, 0)
L=EF=E'H=EO=1 より Lとkは２通り存在する。
H(k/4,0)
E(k/4,k/2), E' (0, k/2)
点Eが領域Dの４分円の円周上の点であることから
(k/4)^2+(k/2)^2=1 → k^2=16/5
(1)より 0≦k≦√5 → k=4/√5
H(1/√5, 0)
E(1/√5, 2/√5), E' (0, 2/√5)
L=EF=1のとき k=4/√5
L=E' H=1のとき　k=2/√5
答えは図のEF, E'Hの場合のkが２通り存在します。

Ans. k=4/√5, 2/√5

回答No.2

noname#215361

(1)
円（弧）：x^2+y^2=1と直線m：y=－2x+kの接点は、円（弧）：x^2+y^2=1と原点O（0、0）を通り直線mに垂直な直線y=x/2の交点だから、
x^2+（x/2）^2=1
5x^2/4=1
x^2=4/5
x=2√5/5（≧0）
y=√5/5
から、点（2√5/5，√5/5）
直線mがこの点を通るとき、
y=-2（x-2√5/5)+√5/5=-2x+√5
となって、kの範囲は直線mが原点O（0、0）からこの点を通るまでであるから、
0≦k≦√5

(2)
L=1のとき、Lは円（弧）：x^2+y^2=1の半径と等しいので、Lと円（弧）：x^2+y^2=1の共有点と原点
O（0、0）を通る直線はy=2x
この直線と円（弧）：x^2+y^2=1の交点は、
x^2+（2x）^2=1
5x^2=1
x^2=1/5
x=√5/5（≧0）
y=2√5/5
から、点（√5/5，2√5/5）
直線mがこの点を通るとき、
y=-2（x-√5/5）+2√5/5=-2x+4√5/5
よって、k=4√5/5

お礼

どうも有難うございました。

回答No.1

bran111

xy平面にやろうとしていることが描けている必要があります。

x^2 ＋y^2≦１、x≧０、y≧０の表す領域をDとする。
(1)Dと直線ｍ：y=－2x＋ｋが共有点を持つ時、ｋの範囲を求めよ。

mにおいてｘ＝0とするとy=k、つまりmとy軸の交点のy座標がkということがわかりますか。
ｋ＝0のときmは原点を通り,mが上に平行移動するとき、kが増加して第1象限で円C：x^2+y^2=1に接するときkの上限となります。k>0です。
このときｍとCを連立して
y=－2x＋ｋ
x^2 ＋y^2＝１
yを消去してxに関する方程式を導くと
x^2+(-2x+k)^2-1=0
5x^2-4kx+k^2-1=0
mがCに接するとき
D=16k^2-20(k^2-1)=1
ｋ＝√5

答　0≦k≦√5

(2)(1)の直線ｍの領域Dに含まれる線分をLとする。L＝１の時、ｋの値を求めよ。
Cとmが接するとき(1)の結果よりk=√5
C:y=-2x+√5
x=0でy=√5
y=0でx=√5/2
このとき
L=√(5+5/4)=5/2

L=1となる時のkは
mがkの値が変わっても並行であることからｍと両座標との交点と原点Oの作る三角形は掃除となり、
1/(5/2)=k/√5
を満たす。つまり
k=2√5/5

補足

(２)で、Dとｍの交点をα、βと置き、L＝αとβの距離として、解と係数の関係を使ってやってもみたのですが、出して下さった答え(これは理解できます。有難うございました)と同じになりません。。。
この考え方は、間違っているのでしょうか？