図形（高１レベル）お願いします。

質問

半径７/√３の円に内接する三角形ＡＢＣ、ＡＢ＝５　ＢＣ＝Ｘ　ＣＡ＝Ｘ＋１
のとき
（１）「sinＣ」
（２）「Ｘ」
（３）頂点Ａ、Ｂ、Ｃから対辺ＢＣ，ＣＡ、ＡＢに引いた垂線と各辺の交点をＤ、Ｅ、Ｆとする。
このときの三角形ＤＥＦの面積」

なぜかしら、不思議な数字が出てくるのは気のせい？
よろしくお願いします。

回答No.4

postro · ベストアンサー

＃１です。以下私の計算方法です。
（１）はＡＢ＝５　と外接円の半径７/√３から正弦定理をつかって　５／sinＣ＝１４／√３　から求めました。
（２）はwhite_wingsさんと同じようにsinC^2+cosC^2=1を使ってcosCを求め、余弦定理を使って計算ました。ただ、不覚にもcosCが正の方だけしか計算しませんでした。
ｘの2次方程式を解くことになりましたが、2つの解の片方は負になったので捨てました。
（３）は、力ずくで計算です。Ｘがわかることにより、3辺すべてわかるので、ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｓｉｎＢ，ｃｏｓＢは全部わかります。すると、ＡＦ，ＦＢ，ＢＤ，ＤＣ，ＣＥ，ＥＡも全部わかります。三角形ＡＢＣからＡＦＥ，ＦＢＤ，ＥＤＣを引き算してＤＥＦを求めました。
あと、cosCが負の場合の計算は、とてもめんどうでやる気がおこりません。あしからず。

回答No.6

age_momo

#3です。
（３）はどちらの三角形でも面積は同じですね。
両方の三角形を書いて題意に合うように線を引いてみると中心を含まないほうの三角形（cosC=-11/14の方）は中心を含む方の三角形と同じ三角形が円の外側にできます。(証明は簡単にできますよ）
面積の求め方は#1の方のやり方でいいと思います。ただ、それぞれの三角形は元の三角形△ABCの相似形(それぞれ比はcosA,cosB,cosC)ですから
△ABC×(1-cos2A-cos2B-cos2C)
で求めるとまとめやすいです。

回答No.5

noname#18633

初めまして、eriomと申します。
postroさんの補足です。
（２）のcosCの負の方は2/5だと思います。（計算してみました。）
（３）の方はちょっとめんどくさいのでパスさせてください・・・。
あとはpostroさんのでいいと思います～。（勉強になりました→postroさん）
頑張ってください。
では～。

回答No.3

age_momo

まだ計算してませんのでアドバイスだけ
円の中心OからA,Bに線を引き、三角形OABを作ると7/√3、7/√3、5で頂角2Cの二等辺三角形ができます。この底角(?)は（π-2C)/2ですから(π/2-C)です。
余弦定理（でしたっけ）を使えばcos(π/2-C)=sinCが求まるのでは？
ただし、半径7/√3の円に長さ5の線を引いて題意にあるような三角形は円の中心を含むほうと含まないほうの2通り引けるので（２）以降は注意が必要です。（１）はsinですから1通りです。(三角形ですからもちろんマイナスは有りませんし、どちらの三角形でもsinCは同じになります）

回答No.2

postro

＃１です。
なるほど、確かに2種類考えなくてはいけませんね。
ただ、cosC=－11/14　のときはあとの計算がずいぶん面倒になりそうですね。

補足

postroさんはどのように計算されたのですか？
ご教授ください！！

回答No.1

postro

（１）sinＣ=5√3／14
（２）Ｘ=7
（３）ＤＥＦ=55√3／49
となりましたが、そちらの答えとあってますか？

補足

sinC^2+cosC^2=1より
cosC^2=1-75/196
=121/196
よって
cosC=±11/14

↓
（ⅰ）11/14=x^2+(x+1)^2-5^2/2*x*(x+1)
（ⅱ）-11/14=x^2+(x+1)^2-5^2/2*x*(x+1)
の二通り考えるんですか？