高校入試の数学について、どなたか解法を教えて下さい

質問

北海道、私立高校入試の問題です。

適当な三角形ABCがあります。
辺ACを四等分する点を頂点Aから近い順にD、E、Fとします。
また、辺BCの中点をMとします。

(1)BG：GMをもっとも簡単な比で表しなさい。

(2)線分BDと線分AMの交点をIとします。△AIDの面積は△GMHの面積の何倍ですか。

初歩的な問題であるとは思いますが、丁寧な解説を求めています。
画像も添付しておきます。
宜しくお願いします。

回答No.5

nag0720

＞「ABCの形によってBG：GMの比は変化する」とのご意見に関しまして、
＞どのような前提条件があれば解答できますでしょうか？

もし△ABCがAC＝BCとする二等辺三角形なら、BG：GM＝2：1
もし△ABCが∠Aを直角とする直角二等辺三角形なら、BG：GM＝√10：1
もし△ABCが∠Bを直角とする直角二等辺三角形なら、BG：GM＝2√10：5
というように、三角形の形状によって比が違ってきます。

逆に言えば、三角形の形状が確定すれば比は確定します。
三角形の形状は、例えば、
「２角の角度」
「２辺の比とその挟む角の角度」
「３辺の比」
のように、三角形の相似条件と同じようなことが分かれば確定します。

でも、問題点はそんなことじゃなく、何を見たか分かりませんが本当に「BG：GM」と書かれていたのなら、単なるミスプリントでしょう。

回答No.4

ferien

No.2　No.3です。

>回答の中で示して頂いたGHとの比率を応用して、BGとGMの比を求めることは可能ですか？
>問題に示されている前提だけでは、同一三角形における2辺の比率を求めることはできないと思うのですが…

できないと思います。
△ＢＧＭと△ＭＨＧが相似であるとか、ＢＧとＧＭの長さが求められるとかすれば、比が出せると思いますが、この問題の条件だけではできません。
ＢＧ：ＧＨも求めましたが、（２）を解くためにはとくに必要ない値です。
（２）との関連を考えれば、ＡＧ：ＧＭの間違いとか、問題のミスではないでしょうか？

回答No.3

ferien

No.2です。済みません。以下のように訂正をお願いします。

△ＤＭＦで、ＤＥ＝ＥＦ，ＨＥ平行ＭＦだから、定理より
ＤＨ＝ＨＭ……（１）
ＨＥ＝（１／２）ＭＦ＝（１／２）×（１／２）ＢＥ＝（１／４）ＢＥ
△ＡＧＥで、ＡＤ＝ＤＥ，ＪＤ平行ＧＥだから、定理より

他に間違いなどあったらお願いします。

回答No.2

ferien

適当な三角形ABCがあります。
辺ACを四等分する点を頂点Aから近い順にD、E、Fとします。
＞また、辺BCの中点をMとします。

△ＡＢＣで、ＥはＡＣ，ＭはＢＣの中点だから、Ｇは重心
よって、ＡＧ：ＧＭ＝ＢＧ：ＧＥ＝２：１

中点連結定理を使います。
ＡＢの中点をＮとします。ＮＤとＡＭの交点をＪとします。

△ＡＢＥ（ＡＮ＝ＮＢ，ＡＤ＝ＤＥ）と△ＣＢＥ（ＢＭ＝ＭＣ，ＥＦ＝ＦＣ）で
中点連結定理より、ＮＤ平行ＢＥ平行ＭＦ
ＮＤ＝（１／２）ＢＥ＝ＭＦ　
△ＤＭＦで、ＤＥ＝ＤＦ，ＨＦ平行ＭＦだから、定理より
ＤＨ＝ＨＮ……（１）
ＨＥ＝（１／２）ＭＦ＝（１／２）×（１／２）ＢＥ＝（１／４）ＢＥ
△ＡＧＭで、ＡＤ＝ＤＥ，ＪＤ平行ＧＥだから、定理より
ＡＪ＝ＪＧ……（２）
ＪＤ＝（１／２）ＧＥ＝（１／２）×（１／３）ＢＥ＝（１／６）ＢＥ……（３）
△ＭＤＪで、（１）とＨＧ平行ＤＪだから、定理より
ＭＧ＝ＧＪ
ＧＨ＝（１／２）ＪＤ＝（１／２）×（１／６）ＢＥ＝（１／１２）ＢＥ
よって、ＧＨ：ＢＥ＝１：１２
ＢＧ：ＢＥ＝２：３＝８：１２だから、ＢＧ：ＧＨ＝８：１

＞(1)BG：GMをもっとも簡単な比で表しなさい。
ＢＧ：ＧＨなら８：１

＞(2)線分BDと線分AMの交点をIとします。△AIDの面積は△GMHの面積の何倍ですか。
高さは同じ三角形とみて、底辺の比だけで面積比を考えます。
△ＡＭＣ＝(1/2)△ＡＢＣ
△ＡＭＤ＝(1/4)△ＡＭＣ＝(1/4)×(1/2)△ＡＢＣ＝(1/8)△ＡＢＣ
△ＡＭＨ＝(1/2)△ＡＭＤ＝(1/2)×(1/8)△ＡＢＣ＝(1/16)△ＡＢＣ
△ＧＭＨ＝(1/3)△ＡＭＨ＝(1/3)×(1/16)△ＡＢＣ＝(1/48)△ＡＢＣ
△ＩＤＪと△ＩＧＢは相似です。
（ＪＤ平行ＢＧより２組の錯角が等しい）
（３）より、ＪＤ：ＢＥ＝１：６　ＢＧ：ＢＥ＝２：３＝４：６だから、
よって、ＪＩ：ＩＧ＝ＪＤ：ＢＧ＝１：４
（２）より、ＡＪ＝ＪＧだから、ＡＪ：ＪＩ：ＩＧ＝５：１：４
ＡＩ：ＩＧ＝（５＋１）：４＝３：２
△ＡＢＥ＝(1/2)△ＡＢＣ
△ＡＧＥ＝(1/3)△ＡＢＥ＝(1/3)×(1/2)△ＡＢＣ＝(1/6)△ＡＢＣ
△ＡＧＤ＝(1/2)△ＡＧＥ＝(1/2)×(1/6)△ＡＢＣ＝(1/12)△ＡＢＣ
△ＡＩＤ＝(3/5)△ＡＧＤ＝(3/5)×(1/12)△ＡＢＣ＝(1/20)△ＡＢＣ
△ＡＩＤ：△ＧＭＨ＝(1/20)：(1/48)＝１２：５
よって、△ＡＩＤ＝（１２／５）△ＧＭＨ
１２／５倍

説明は長いですが、似たような事柄を繰り返して書いているだけです。
図を描いて確認しながら考えてみて下さい。

何かあったらお願いします。

お礼

ご回答ありがとうございます。大変参考になりました。

(1)に関して、再度ご質問させて頂きます。
回答の中で示して頂いたGHとの比率を応用して、BGとGMの比を求めることは可能ですか？
問題に示されている前提だけでは、同一三角形における2辺の比率を求めることはできないと思うのですが…
解法をお知りでしたら、合わせてお教え頂きたいと思います。

宜しくお願いします。

回答No.1

nag0720

(1)三角形ABCの形によってBG：GMの比は変化するため、簡単な比で表すことはできません。
問題が間違っていませんか？

(2)
AGの中点をJとすると、JDとGEは並行で、GはJMの中点だから、DH=HM
よって、△GMHの面積は、△ADMの1/6

ABの中点をKとすると、KDとBEは並行で、BG：GE＝2：1だから、KJ：JD＝2：1
BGの中点をL、KLとBDの交点をNとすると、KD：JD＝3：1だから、KN：JI＝3：1
また、KN：AI＝1：2だから、JI：AI＝1：6
よって、AI：AM＝6：15となり、△AIDの面積は、△ADMの2/5

以上から、△AIDの面積は△GMHの面積の12/5倍

お礼

ご回答ありがとうございます。大変参考になります。

(1)に関する質問があります。
問題の前提条件は掲載した内容が全てだったので、私も試行錯誤してはみましたが困難でした。

「ABCの形によってBG：GMの比は変化する」とのご意見に関しまして、
どのような前提条件があれば解答できますでしょうか？
(例えば、ABCの辺の長さを与件とすれば、求まりますか？)

宜しくお願いします。