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高校入試の数学について、どなたか解法を教えて下さい

北海道、私立高校入試の問題です。 適当な三角形ABCがあります。 辺ACを四等分する点を頂点Aから近い順にD、E、Fとします。 また、辺BCの中点をMとします。 (1)BG:GMをもっとも簡単な比で表しなさい。 (2)線分BDと線分AMの交点をIとします。△AIDの面積は△GMHの面積の何倍ですか。 初歩的な問題であるとは思いますが、丁寧な解説を求めています。 画像も添付しておきます。 宜しくお願いします。

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みんなの回答

  • 回答No.5
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

>「ABCの形によってBG:GMの比は変化する」とのご意見に関しまして、 >どのような前提条件があれば解答できますでしょうか? もし△ABCがAC=BCとする二等辺三角形なら、BG:GM=2:1 もし△ABCが∠Aを直角とする直角二等辺三角形なら、BG:GM=√10:1 もし△ABCが∠Bを直角とする直角二等辺三角形なら、BG:GM=2√10:5 というように、三角形の形状によって比が違ってきます。 逆に言えば、三角形の形状が確定すれば比は確定します。 三角形の形状は、例えば、 「2角の角度」 「2辺の比とその挟む角の角度」 「3辺の比」 のように、三角形の相似条件と同じようなことが分かれば確定します。 でも、問題点はそんなことじゃなく、何を見たか分かりませんが本当に「BG:GM」と書かれていたのなら、単なるミスプリントでしょう。

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  • 回答No.4
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

No.2 No.3です。 >回答の中で示して頂いたGHとの比率を応用して、BGとGMの比を求めることは可能ですか? >問題に示されている前提だけでは、同一三角形における2辺の比率を求めることはできないと思うのですが… できないと思います。 △BGMと△MHGが相似であるとか、BGとGMの長さが求められるとかすれば、比が出せると思いますが、この問題の条件だけではできません。 BG:GHも求めましたが、(2)を解くためにはとくに必要ない値です。 (2)との関連を考えれば、AG:GMの間違いとか、問題のミスではないでしょうか?

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  • 回答No.3
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

No.2です。済みません。以下のように訂正をお願いします。 △DMFで、DE=EF,HE平行MFだから、定理より DH=HM……(1) HE=(1/2)MF=(1/2)×(1/2)BE=(1/4)BE △AGEで、AD=DE,JD平行GEだから、定理より 他に間違いなどあったらお願いします。

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  • 回答No.2
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

適当な三角形ABCがあります。 辺ACを四等分する点を頂点Aから近い順にD、E、Fとします。 >また、辺BCの中点をMとします。 △ABCで、EはAC,MはBCの中点だから、Gは重心 よって、AG:GM=BG:GE=2:1 中点連結定理を使います。 ABの中点をNとします。NDとAMの交点をJとします。 △ABE(AN=NB,AD=DE)と△CBE(BM=MC,EF=FC)で 中点連結定理より、ND平行BE平行MF ND=(1/2)BE=MF  △DMFで、DE=DF,HF平行MFだから、定理より DH=HN……(1) HE=(1/2)MF=(1/2)×(1/2)BE=(1/4)BE △AGMで、AD=DE,JD平行GEだから、定理より AJ=JG……(2) JD=(1/2)GE=(1/2)×(1/3)BE=(1/6)BE……(3) △MDJで、(1)とHG平行DJだから、定理より MG=GJ GH=(1/2)JD=(1/2)×(1/6)BE=(1/12)BE よって、GH:BE=1:12 BG:BE=2:3=8:12だから、BG:GH=8:1 >(1)BG:GMをもっとも簡単な比で表しなさい。 BG:GHなら8:1 >(2)線分BDと線分AMの交点をIとします。△AIDの面積は△GMHの面積の何倍ですか。 高さは同じ三角形とみて、底辺の比だけで面積比を考えます。 △AMC=(1/2)△ABC △AMD=(1/4)△AMC=(1/4)×(1/2)△ABC=(1/8)△ABC △AMH=(1/2)△AMD=(1/2)×(1/8)△ABC=(1/16)△ABC △GMH=(1/3)△AMH=(1/3)×(1/16)△ABC=(1/48)△ABC △IDJと△IGBは相似です。 (JD平行BGより2組の錯角が等しい) (3)より、JD:BE=1:6 BG:BE=2:3=4:6だから、 よって、JI:IG=JD:BG=1:4 (2)より、AJ=JGだから、AJ:JI:IG=5:1:4 AI:IG=(5+1):4=3:2 △ABE=(1/2)△ABC △AGE=(1/3)△ABE=(1/3)×(1/2)△ABC=(1/6)△ABC △AGD=(1/2)△AGE=(1/2)×(1/6)△ABC=(1/12)△ABC △AID=(3/5)△AGD=(3/5)×(1/12)△ABC=(1/20)△ABC △AID:△GMH=(1/20):(1/48)=12:5 よって、△AID=(12/5)△GMH 12/5倍 説明は長いですが、似たような事柄を繰り返して書いているだけです。 図を描いて確認しながら考えてみて下さい。 何かあったらお願いします。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。大変参考になりました。 (1)に関して、再度ご質問させて頂きます。 回答の中で示して頂いたGHとの比率を応用して、BGとGMの比を求めることは可能ですか? 問題に示されている前提だけでは、同一三角形における2辺の比率を求めることはできないと思うのですが… 解法をお知りでしたら、合わせてお教え頂きたいと思います。 宜しくお願いします。

  • 回答No.1
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

(1)三角形ABCの形によってBG:GMの比は変化するため、簡単な比で表すことはできません。 問題が間違っていませんか? (2) AGの中点をJとすると、JDとGEは並行で、GはJMの中点だから、DH=HM よって、△GMHの面積は、△ADMの1/6 ABの中点をKとすると、KDとBEは並行で、BG:GE=2:1だから、KJ:JD=2:1 BGの中点をL、KLとBDの交点をNとすると、KD:JD=3:1だから、KN:JI=3:1 また、KN:AI=1:2だから、JI:AI=1:6 よって、AI:AM=6:15となり、△AIDの面積は、△ADMの2/5 以上から、△AIDの面積は△GMHの面積の12/5倍

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。大変参考になります。 (1)に関する質問があります。 問題の前提条件は掲載した内容が全てだったので、私も試行錯誤してはみましたが困難でした。 「ABCの形によってBG:GMの比は変化する」とのご意見に関しまして、 どのような前提条件があれば解答できますでしょうか? (例えば、ABCの辺の長さを与件とすれば、求まりますか?) 宜しくお願いします。

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