正四面体についての問題

質問

４点OABCを頂点とする１辺の長さが８ｃｍの正四面体がある。辺BCの中点をMとし、辺OA上にOD＝MDとなるように点Dをとる。このとき次の問いに答えなさい。

(1)線分OMの長さを求めなさい。
(2)三角形OAMの面積を求めなさい。
(3)点Dから線分AMに引いた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さを求めなさい。

図がなくてわかりづらいかもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）△ＯＭＢはＯＢ＝８、∠ＯＢＭ＝６０°の直角三角形です。
（２）まずこの四面体の体積を求めます。一方四面体ＢＯＭＡの体積は△ＯＭＡの面積＊ＢＭの長さ／３で与えられ、その二倍は四面体ＯＡＢＣの体積とおなじです。
（３）まず△ＤＭＡの面積を求めます。求める面積は△ＯＭＡ＊（ＯＡ－ＯＤ）／ＯＡです。一方これはＡＭ＊ＤＨ／２に等しいので・・・

回答No.2

mariopapa2397

（１）　　△ＯＢＣは、一辺が８の正三角形より、ＯＭ＝4√3

（２）　△ＭＯＡは、4√3, 4√3, 8 の二等辺三角形で、
　　　　ＭからＯＡに垂線ＭＨをひくと、三平方の定理より、
　　　　ＭＨ^2 ＝ (4√3)^2 - 4^2 MH=　4√2
△ＯＡＭ＝　8 × 4√2 ÷　２　＝　16√2

（３）　△ＯＤＭ∽△ＭＯＡ　で、相似比　4√3 : 8 = √3 : 2 より
　　　　OD　：　ＭＯ　＝　OD : 4√3 = √3 : 2 より、OD = 6 AD = 2
ＤからＡＭにおろした垂線をＤＫ，ＯからＡＭにおろした垂線をＯＩとすると
　　　△ＤＡＫ∽△ＯＡＩ　で、相似比は、４：１
　　　　ここで、ＯＩ(高さ）を△ＯＡＭの面積から逆算すると
　　　ＯＩ　＝　16√2 × 2 ÷4√3 = 8√6/3
よって、ＤＫ　：　ＯＩ　＝　ＤＫ　：　8√6/3 = 4 : 1 より、
　　　　ＤＫ　＝　2√6/3 Ｄからおろした垂線の長さは、2√6/3
で、どうでしょうか。

お礼

ありがとうございました。