正四面体について垂線と中線が交わることの証明

質問

正四面体OABCの頂点Oから底面ABCに引いた垂線の足をＨとし、辺BCの中点をＭとするとき、点Ｈが中線AM上にあることはどうやって証明したらよいのでしょうか。
どなたかご教授願います。

回答No.3

noname#189285 · ベストアンサー

添付図は、正四面体を真上から見た図です。中心のOは、すなわちHです(真上から見ているので)。

三角形OAB、OBC、OCAは合同となります(正四面体の為)。

線分AOをBCまで伸ばした点をMとします。三角形OAB、OCAは合同であることから、角AOB、AOCは同じ角度です。従って三角形OBM、OCMも合同であることが分かります。

従ってBM＝CMなので、Mは線分BCの中点と分かります。

以上で証明は終わりです。勉強の答え等の場合は、上記をきちんと理解した上で正式な記述で書けばO.K.と思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
正四面体を真上から見る、という発想は自分ひとりで考えた場合おそらく浮かばなかった方法だと思います。
もやもやがすっきり解決しました、ありがとうございます。

簡単な理屈で説明していただいたのでこちらをベストアンサーとさせていただきます。

回答No.2

Mr_Holland

ベクトルで考えて　AH=tAM　（t:実数、ベクトル表記は省略。以下同様）　であることを示せば良いと思います。

　正四面体の１辺の長さをaとすると、３つのベクトルOA,OB,OCのなす角は60°ですので、次の関係があります。

　　|OA|=|OB|=|OC|=a
　　OA・OB=OB・OC=OC・OA=a^2 cos60°=a^2/2

　OH=pOA+qOB+rOC （p,q,rは実数）とおいてOHをOA,OB,OCだけで表します。
　OH⊥AB,OH⊥BC から OH・AB=a^2/2 (q-p)=0, OH・BC=a^2/2 (r-q)=0
　　∴p=q=r=1/3
　　∴OH=p(OA+OB+OC)

　また、|OH|は　点Oを原点とし3点A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)とおくと、ABC平面の方程式はx+y+z-a=0　となります。このとき平面ABCと原点との距離は　ヘッセの公式から　|a|/√3=a/√3 と求められます。このことから、

　　|OH|=p√3=a/√3　∴p=1/3
　　∴OH=(1/3)(OA+OB+OC)

　ここから、AH=(2/3){-OA+(1/2)OB+(1/2)OC}　と分かります。

　他方、点Mは線分BCを1:1に内分する点ですので
　　AM=(1/2)AB+(1/2)AC=-OA+(1/2)OB+(1/2)OC
と書け、
　　AH=(2/3)AM
となりますので、点Hは中線AM上にあることが言えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
残念ながら当方はベクトルの理解までは進んでいないのですが、証明方法のひとつとして大変参考になります。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

いくつかやり方はあると思う. とりあえず
・O は 3点 A, B, C から等距離
・OH と AM は平行でなく, かつ 同じ平面上にある
の 2つは思いついた.

お礼

ご回答ありがとうございます。
証明方法のご指南、大変参考になります。
自分でもっともすんなり納得できる解法を模索したいと思います。

みなさまありがとうございました。