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高校入試の図形の問題です

http://www.fukuchan.ac/gazou-bbs/img/1162.jpg 四角形ABCDが円Oに内接している。対角線ACとBDの交点をEとし、BC=BFとなる点FをBD上にとる。 AB=3、BC=1、CD=3、DA=4とするとき、次の各問いに答えなさい。 (1)∠BADの大きさを求めなさい。 (2)BDの長さを求めなさい。 (3)円Oの半径を求めなさい。 (4)EFの長さを求めなさい。 という問題なんですが、中学校までの知識を使って解くことは出来ますか? ちなみに答えは (1)60° (2)√13 (3)√39/3 (4)1-√13/5 です。

noname#194058
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noname#137826
noname#137826

(1) 同じ長さの弧の円周角なので、∠CAD = ∠ACB。したがって、AD // BC。 直線ABと直線CDの交点を G とすると、AD // BC より ∠GBC = ∠GAD。したがって、⊿GBC と ⊿GAD は相似。 このことから、GB : BC = (GB+BA) : AD なので、GB = 1。同様に、GB : CB = (GC+CD) : DA から GC = 1。すなわち、⊿GBCは正三角形であり、それと相似な⊿GAD も正三角形となる。したがって、 ∠BAD = 60°。 (2) B から直線ADに下ろした垂線の足を H とする。⊿ABH は∠BAD = 60°の直角三角形であるから、AB = 3/2, BH = 3√3/2 である。また、DH = AD - AH = 5/2 である。これらを、⊿BDH は直角三角形であることから得られる (BD)^2 = (BH)^2 + (DH)^2 に代入して BD = √13 (3) O から直線BDに下ろした垂線の足を I とすると、∠BOI = ∠BOD/2 = (∠BAD×2) / 2 = 60°である。したがって、⊿BOI は∠BOI =60°の直角三角形であるから、OB = 2BI / √3 = BD / √3 = √39 / 3。 (4) (1)で述べたように∠CAD = ∠ACB であり、∠BEC = ∠AED であるから、⊿EBC と ⊿EAD は相似である。よって、BE : DE = BC : AD。DE = BD - BE, BC = 1, AD = 4 を代入して、BE = √13/5。したがって、EF = BF - BE = 1 - √13/5。

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