高校入試の図形の問題です

質問

http://www.fukuchan.ac/gazou-bbs/img/1162.jpg

四角形ABCDが円Oに内接している。対角線ACとBDの交点をEとし、BC＝BFとなる点FをBD上にとる。
AB=３、BC=１、CD=３、DA=４とするとき、次の各問いに答えなさい。

（１）∠BADの大きさを求めなさい。

（２）BDの長さを求めなさい。

（３）円Oの半径を求めなさい。

（４）EFの長さを求めなさい。

という問題なんですが、中学校までの知識を使って解くことは出来ますか？

ちなみに答えは
（１）６０°
（２）√１３
（３）√３９/３
（４）１－√１３/５
です。

回答No.1

noname#137826 · ベストアンサー

(1)
同じ長さの弧の円周角なので、∠CAD = ∠ACB。したがって、AD // BC。

直線ABと直線CDの交点を G とすると、AD // BC より ∠GBC = ∠GAD。したがって、⊿GBC と ⊿GAD は相似。

このことから、GB : BC = (GB+BA) : AD なので、GB = 1。同様に、GB : CB = (GC+CD) : DA から GC = 1。すなわち、⊿GBCは正三角形であり、それと相似な⊿GAD も正三角形となる。したがって、 ∠BAD = 60°。

(2)
B から直線ADに下ろした垂線の足を H とする。⊿ABH は∠BAD = 60°の直角三角形であるから、AB = 3/2, BH = 3√3/2 である。また、DH = AD - AH = 5/2 である。これらを、⊿BDH は直角三角形であることから得られる (BD)^2 = (BH)^2 + (DH)^2 に代入して BD = √13

(3)
O から直線BDに下ろした垂線の足を I とすると、∠BOI = ∠BOD/2 = (∠BAD×2) / 2 = 60°である。したがって、⊿BOI は∠BOI =60°の直角三角形であるから、OB = 2BI / √3 = BD / √3 = √39 / 3。

(4)
(1)で述べたように∠CAD = ∠ACB であり、∠BEC = ∠AED であるから、⊿EBC と ⊿EAD は相似である。よって、BE : DE = BC : AD。DE = BD - BE, BC = 1, AD = 4 を代入して、BE = √13/5。したがって、EF = BF - BE = 1 - √13/5。

お礼

解説ありがとうございます。
とても分かりやすかったです！！