数学の入試問題がわからないんです！

質問

こんにちは。

平成25年京都府公立高校の数学の入試問題でわからないところがあるので、だれか教えて欲しいです。

できれば、問題の解き方などもわかりやすく解説していただけるととってもありがたいです。

よろしくお願いします。

問題

図のように、円Oの周上に4点A・B・C・Dがこの順にあり、線分BDは円Oの直径でAB=2√5cm、AD=4cmである。2点C・Oを通る直線が線分ABと交わりその交点をEとし、角AEC=90°とする。
このとき、次の問いに答えよ。

1.線分BDの長さを求めよ

2.OF:FDを最も簡単な整数の比で表せ

3.三角形OCFの面積を求めよ

回答No.3

shuu_01 · ベストアンサー

三平方の定理（ピタゴラスの定理） って中学３年で習うの？

小学生の時に習うのかと思ってました

昔、小学生中学年用の数の絵本に載ってたし

とりあえず、Wikipedia
ピタゴラスの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

で勉強しておきましょう

今回の問題でもう １つ必要なのは「外接円」の知識です

これも Wikipedia
外接円
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%86%86

の三角形の外接円の所を理解してないと解けません

今回の問題、BD は外接円の直径って所で、

「あ、角 BAD は直角だ」 って気付かないといけません

（１） BD^2 =　AB^2 ＋ AD^2 ＝ （2√5）^2 ＋ 4^2
　　　　　　＝ 20 ＋ 16 ＝ 36
　　　BD ＝ 6cm

（２） 角BAD、角 OEA が直角なので、AD と EC は平行
　　　△ADF と △ COF は相似形なので
　　　FD / AD ＝ OF / OC
　　　AD ＝ 4cm
　　　OC は半径だから、（１） で求めた直径の半分の 3cm
　　　FD ＝ OD － OF ＝ 3 － OF
　　　 （3 － OF） / 4 ＝ OF / 3
　　　OF ＝ 9/7
　　　FD ＝ 3 － 9/7 ＝ 12/7
　　　OF ： FD ＝ 9 ： 12 ＝ 3 ： 4

（３） △OCF と △ADF は相似形です
　　　まず、△ ADF の面積を求めます
　　　△ ABD の面積は 1/2 × AB × AD ＝ 4√5
　　　△ ADF は高さが同じなので、底辺の比で計算でき、
　　　4√5 ×（12/7） / 6 ＝ （8/7） √5
　　　△ OCF と △ADF の１辺の比は （２） から 3 ： 4 なので
　　　面積の比は 9：16
　　　△ OCF の面積は （8/7） √5 × 9/16 ＝ （9/14）√5

【回答】
（１）　BD ＝ 6cm
（２）　OF ： FD ＝ 3 ： 4
（３）　△ OCF の面積は （9/14）√5

お礼

わざわざURLまで貼ってくれてありがとうございます！

多分、私の世代はゆとり教育で、回答者様のときよりも、習うのが遅いんだと思います。

とても丁寧でわかりやすかったです(*´∇｀*)

回答No.2

178-tall

>…まだ三平方の定理というものを学校で習ってないんです

「三平方の定理」を使わず解くには、二次方程式を解かされそうですヨ。
(それも NG ならギブアップですか…)

三角形の面積から攻める方法があります。
面積の比例算を使った苦肉の策ですが、結局「三平方の定理」と同じ筋書き…？

その筋書きだけでも。(円の半径を r としておく)

(a) △OCF の面積 Sc は？
　　(r/4)^2 *(△AFD の面積 Sf)

(b) 台形 AEOD の面積 Sd は？
　　3*√5

(c) △AEC の面積は？
　　Sd - Sf + Sc = √5 *(2+r)/2

…となり、整形すると r の「二次方程式」になりそう。
(途中で r^2 の項が消滅してくれそうもない…？)

お礼

ピタゴラスの定理を調べてみたら、すぐわかりました！
わかりやすく、丁寧に教えてくださってうれしかったです(｀・∀・´)
ありがとうございます。

回答No.1

f272

(1)
三角形ＡＢＤはＡが直角である直角三角形になっています。
三平方の定理からAB^2+AD^2=BD^2になりますからBDは計算できるでしょう。
(2)
(1)の答えから円の半径OCがわかります。
ＡＤとＯＣは平行ですから，OF:FDはＯＣ:ADに等しいですね。
(3)
(2)の答えからFDの長さを計算できますね。
また，三角形ＡＢＤの面積がわかるでしょう。そこから三角形ＡＦＤの面積がわかって，あとはOF:FDの比がわかっているのですから三角形OCFの面積も求めることが出来ます。

補足

回答ありがとうございます！

答えていただいてこんなこというのもなんですが、
私は中学3年生で、まだ三平方の定理というものを学校で習ってないんです(´・_・`)

最初に私が中3だと書くべきでしたね。