直角２等辺三角形と平行線

質問

幾何学の証明がわからないので質問します。
「直角２等辺三角形ABCの直角頂をAとし、点Aを通ってBCに平行な直線をひき、その上に点EをBE=BCであるようにとり、BE=ACの交点をFとすると、CE=CFである。」
これを証明しようとして、
BCを直径とする外接円を描いてみたり、円周角の定理をつかってみたり、CからFEに垂線を下してみたりして、∠CFE=∠CEFを証明しようとしてもできませんでした。どなたか証明を教えてください。お願いします。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

AからBCに垂線AGをおろし、
EからBCに垂線EHをおろす。AG=EHである。
ABCが直角二等辺三角形であることより
2AG=BC
なので
2EH=BC
である。
ここでBC=BEより
2EH=BE
とわかる。
よって三角形BEHは三角定規の形であり
∠EBH=30°
とわかる。これとBC=BEより、二等辺三角形BCEで考えて
∠BCE=∠BEC=75°
となる。
また、三角形BCFで考えて
∠FBC+∠FCB=∠CFE（2つの内角の和と外角）
より
∠CFE=30°+45°=75°
以上より
∠CEF=∠CFE=75°
であり、CE=CFとわかる。【証明終わり】

お礼

中学生でもわかるような証明、ありがとうございます。

回答No.5

bunjii

>∠CFE=∠CEFを証明しようとしてもできませんでした。
BCとAE平行であるがことからBCを底辺として△ABCと△EBCの高さは同じであり、sin(∠EBC)は1÷2から30°であることが分かります。
△BCEは2等辺三角形なので∠CEFは(180-30)÷2=75°である。
∠BFA=∠CFE=90-(45-30)=75°である。
∴　∠CFE=∠CEF=75°

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.4

gamma1854

解析的な方法でかんがえてみます。
Bを原点としBCをｘ軸とします。さらに、C(2a, 0) とすると、
簡単な計算により、
EC=(√6 - √2)*a = FC
を得ます。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

staratras

No.1の方の回答のように角EBCが30度であることを使って、角CEF=角CFEを導き、三角形CEFが二等辺三角形であることを証明するのが順当でしょうけれど、あえて角を一切使わず、三平方の定理で求めた辺の長さだけで直接CE=CFを導いてみました。別におすすめはしませんが、愚直な計算でも答えにはたどり着けるという例です。

BCを底辺とした直角二等辺三角形の高さを1とするとBC=BE=2です。
EからBCに垂線の足EGを下ろすと、BG=√(2^2-1^2)=√3、GC=2-√3だから
CE=√((2-√3)^2+^2)=√6-√2　…（１）

一方三角形FBCと三角形FEAは相似で、相似比は2：(√3-1)だから、FからBCに垂線の足FHを下ろすと、FH=1×2/(2+√3-1）=√3-1
したがってCF=√{2×(√3-1)＾2}=√6-√2　…（２）
（１）（２）からCE=CF

なお勝手に直角三角形の高さを1に決めたことが気になるのなら、hと置けばすべてh倍になるだけで、後は同じです。

お礼

地道なやり方を教えてくれて、ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

やり方は色々ありますが：

△ABCと△EBCの面積は等しいので、 (1/2) AB・AC = (1/2) BE・BC・sin(∠EBC) 。AB = AC。又 BE=BC= AB・√2なので sin(∠EBC) = 1/2から ∠EBC = 30°であることが分かるから、後は諸々の角度が計算出来る。

お礼

お返事ありがとうございます、面積が等しいことを使うとは思いもよらなかったです。