平面図形の証明について

質問

本当はこんなことで皆様のお力を借りるようなことはしたくなかったのですが、
どうしても解けない問題があり、失礼ながらお手を借りたく存じます。
当方高校１年生です。

「△ABCの内心Iを通り、辺BCに平行な直線を引き、
辺AB、ACとの交点をそれぞれD、Eとする。
BD+CE=DEであることを証明せよ。」

という平面図形の証明の問題です。
角の二等分線定理、平行線の性質を用いて、
DI：EI=DB：EC、というのが出たのですが、
これでは、証明できませんよね。

あと、もし宜しければ、

「△ABCの２本の中線BE、CFの長さが等しいならば、
AB=ACであることを証明せよ。」

これもお願い出来ませんでしょうか。
重心や相似を利用したのですが、AB=ACは導けませんでした。

誠に勝手な質問であるのは重々承知しておりますが、
期日も迫ってきてしまったので、明日の夜までに、
御返答頂ければ幸いです。
どうか宜しくお願い致します。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

happiness_islandさん、こんにちは。

＞角の二等分線定理、平行線の性質を用いて、
DI：EI=DB：EC、というのが出たのですが、
これでは、証明できませんよね。

いいところに気がついていると思いますよ！
まず、図を描いてみてください。
三角形の内心は、それぞれの角の二等分線の交点ですよね。
また、ＤＥ//ＢＣですから、
∠ＤＢＩ＝∠ＩＢＣ（錯角）
∠ＥＣＩ＝∠ＩＣＢ（錯角）

ＤＥ//ＢＣより、
∠ＤＩＢ＝∠ＩＢＣ＝∠ＤＢＩ
このことから、ΔＤＢＩは、ＤＢ＝ＤＩの二等辺三角形だということがいえます。

同様に、ΔＥＣＩも、ＥＩ＝ＥＣの二等辺三角形ですね。

これを使えば、もう解けましたよね！！

＞「△ABCの２本の中線BE、CFの長さが等しいならば、
AB=ACであることを証明せよ。」

三角形の中線の交点は、その三角形の重心ですよね。
三角形の重心は、それぞれの中線を、２：１に内分するということは、いいですか？

交点をＧとすると、上のことより、
ＢＧ：ＧＥ＝２：１
ＣＧ：ＧＦ＝２：１
ここで、ＢＥ＝（ＢＧ＋ＧＥ）＝ＣＦ＝（ＣＧ＋ＧＦ）
ですから、ＢＧ＝ＣＧということがいえます。
つまり、三角形ＢＣＧは、二等辺三角形です。
その底角は等しいので、∠ＧＢＣ＝∠ＧＣＢ

ここで、次にΔＥＢＣとΔＦＣＢに着目します。
ＢＥ＝ＣＦ（仮定より）
∠ＥＢＣ＝∠ＦＣＢ
ＢＣは共通なので、二辺挟角により、ΔＥＢＣ≡ΔＦＣＢ

さて、ここで、点Ｆ，点Ｅは、ＡＢ，ＡＣの中点ですから、
ＡＢ＝２ＦＢ＝２ＥＣ＝ＡＣ
となって、ＡＢ＝ＡＣが証明できます。

頑張ってください。

お礼

失礼ながら、ここで皆様へのお礼を言わせていただきます。
１日でこんなにも返信して下さる方が居るとは、思いませんでした。
数分後に答えてくれた方も居たので、「困り度２」の方が良かったのかな(^_^;)
何はともあれ、本当に助かりました。
△DBIを作ろうとは思ってもみませんでした。
でも確かにそれで導けますね。
数学は自分は苦手なのですが、こういう意外な発見がおもしろいと思います。
自分で発見できれば、なおさらですね。
常に頭を柔軟にして、これからも頑張っていこうと思います。
回答してくださった皆様にポイントを差し上げたいところなのですが、
そうもいかないようなので、一番に回答下さったseapassionさんと、より丁寧に書いて下さいました、fushigichanさんにそれぞれ発行させて頂きます。
回答下さった皆様に心より御礼申し上げます。
有難う御座いました。

回答No.3

springside

前半の問題のヒントです。

△DBIを考えます。
Iは内心なので、∠DBI=∠CBIですね。そして、DEとBCが平行なので、錯角を考えて、∠CBI=∠DIBですね。
すると、∠DBI=∠DIBですね。ということは．．．

回答No.2

oshiete_goo

前半ですが，２等辺三角形が見えるような．．．
ではがんばってください．

回答No.1

seapassion

2問目の回答です。
２本の中線の交点をＰとしますね。
△ＰＢＦと△ＰＣＥにおいて
ＰＦ＝1/3ＣＦ　　ＰＥ＝1/3ＢＥ
より、ＰＦ＝ＰＥ
ＰＣ＝2/3ＣＦ　　ＰＢ＝2/3ＢＥ
より　ＰＣ＝ＰＢ
また、∠ＦＰＣ＝∠ＥＰＣ（対頂角）
以上より、
「２辺とその間の角の大きさが等しい」ので
△ＰＢＦ≡△ＰＣＥ

よって、ＦＢ＝ＥＣ
つまり、ＡＢ＝2ＦＢ　ＡＣ＝2ＥＣ
∴
ＡＢ＝ＡＣ

注）1/3：３分の１の意味ですよ。

どうでしょうか？