平面図形の問題

質問

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△ABCの内心をＩとし，Ｉを通るAIの垂線をひき，辺AB、辺ACとの交点をそれぞれD，Eとする。
DB=2，EC=3の時，DEの長さを求めよ．

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この問題に苦戦しています．
まず点IからAB，ACに垂線を下ろして相似な直角三角形を作って式を立てましたが，恒等的な式が出てきただけで進展がありませんでした．

△ADEは二等辺三角形で，点IがDEの中点だということはすぐにわかるので
AD=AE=x
∠BAI=∠CAI=α
∠ABI=β
∠CAI=γ
とおいていろいろ試した結果
求めるものは2xsinα
であり

{2+x(sinα)^2}tanβ={3+x(sinα)^2}tanγ=(△ABCの内接円の半径)
という式は立ちましたが，そこからβとγを消去するすべが見当たりません．

相似関係で解けるということだそうなのですが，上記で考察した他に相似な図形などあるのでしょうか?

この問題の解法の糸口を御存知の方は「糸口のみ」の御教授宜しくお願い致します．

回答No.1

noname#130496 · ベストアンサー

ヒント
⊿ABIの内角和=180と∠AID=90から∠BIDがαとβで表される。
同様に∠CIEがαとγで表される。
さらに⊿ABCの内角和=180からγがαとβで表される。

お礼

お～なるほど！解けました！答えは√6と出ました．
もっと素直に考えれば良かったですね(苦笑)

ありがとうございました．

回答No.2

noname#130496

#1補足
γ=∠ACIの意味で書きました。
質問文中のように∠CAIではありません。

お礼

本当ですね．∠ACIのつもりで書いていたのにorz
改めてお礼申し上げます．ありがとうございました．