二等辺三角と連立方程式の問題教えて下さい。

質問

■図のような△ABCにおいて、辺BC上に点Dをとり、
∠B=30°、∠ADC＝45°、∠C＝90°、AC＝4とする。

１）BDの長さを求めよ。
２）∠BADの大きさを求めよ。
３）DからABに垂線DEを引くとき、DEの長さを求めよ。
４）sin15°の値を求めよ。

２）は面積を求めればいいので１）が出来れば大丈夫だと思うのですが、
１）３）４）が分かりません。

AC＝4より、AD＝1/√2、DC=4と計算したら出たのですけど（合ってるかわかりませんが）
△ABDを見ると、辺がAD＝1/√2と∠しかないのですが、こういう場合はなにで解くのでしょうか？
正弦定理も辺が１つじゃ求まらないし、煮詰まってます。
３）は意味がよくわからないので解説お願いします。
４）はどうやって求めるのでしょうか？
答えは、１）＝4√3-4、２）∠BAD＝15°、３）DE=2√3-2、sin15＝√6-√2/4です。

■連立方程式
11x+19y=5
19x+11y=5
こういう場合は、xかyに同じ数字にするために何倍かしますが、209で合わせても、似たような数字なのでこれであわせてしまうとxもyも消えてしまうのですが、そうしたらいいのでしょうか？

過去問で、宿題ではなく来年受験したくて社会人ですが数I勉強してます。
解方法を教えて下さい。よろしくおねがいします。

回答No.4

tomokoich · ベストアンサー

(1)(2)(3)は３平方の定理でできます。
(1)△ABCが1:2:√3の直角三角形,△ADCが1:1:√2の直角三角形なので
AC:BC=4:BC=1:√3　AC:DC=4:DC=1:1
DC=4
BC=4√3 BD=BC-DC=4√3-4

(2)∠CAB=60° ∠CAD=45°　なので∠BAD=60-45=15°

(3)△DBEは△ABCと相似形なので
AC:AB=DE:BD
1:2=DE:4√3-4
2DE=4√3-4
DE=2√3-2

(4)AD=4√2
sin15°=DE/AD
=(2√3-2)/4√2
=(√3-1)/2√2(分母有理化）
=(√6-√2)/4

11x+19y=5
19x+11y=5
の連立方程式は
209x+361y=95 （両辺19倍）
209x+121y=55 （両辺11倍）
でできると思います
140y=40
y=2/7 というふうに・・・

お礼

ありがとうございます。
早速ノートに書いて、これを今夜しっかり参考にして把握したいと思います！

回答No.5

tomokoich

NO4です
連立方程式の最後は計算ミスで140ではなく240ですので
240y=40 y=1/6です　すみません・・

回答No.3

sotom

追記　＃１です。

連立方程式部分は無視して下さい。すみませんです。

回答No.2

R_Earl

> ■連立方程式
> 11x+19y=5
> 19x+11y=5
> こういう場合は、xかyに同じ数字にするために何倍かしますが、209で合わせても、似たような数字なのでこれであわせてしまうとxもyも消えてしまうのですが、そうしたらいいのでしょうか？

多分計算ミスです。xとyが同時に消える事はありません。

とりえあずyだけを消してみます。
11x+19y=5の両辺を11倍して
121x + 209y = 55 … (1)
19x+11y=5の両辺を19倍して
361x + 209y = 95 … (2)
(2) - (1)をすると240x = 40となるので、x = 1/6と求まります。
yの値も1/6です。

回答No.1

sotom

三角比の基礎を押さえる必要があります。そこが全く理解できていませんね。

また、これは中学生の学習範囲ですが、内角が30°、60°、90°の三角形と
直角二等辺三角形の辺の比は、三角比の基礎とも繋がりますので覚えていても
いいでしょう。

（１）∠BAC=60°だから、BC=4tan60°

（２）省略

（３）△BDEは直角三角形である。DE=BDsin30°

（４）△ADEが直角三角形になります。ADが求められれば、sin∠DAE=DE/AD

まずは問題文の条件を、しっかり図に描いて考える事です。
垂線DEを実際に描けば、すぐに分かる問題だと思いますよ。

連立方程式は、不解だったかな？　解はありません。
2つを足せば、30x+30y=10で、3x+3y=1になってしまい、これ以上どうにもならん。

三角比以外は、中学生レベルの問題です。三平方の定理もいっしょに覚えておきましょう。

お礼

そうですね。すっかり忘れてしまい、言われたように基礎がなってないと自分でも思います。
まずはあと2ヶ月ないですが頑張ります。ありがとうございました。