連立方程式の問題がわかりません！！

質問

質問です。
下記の連立方程式の問題が解けなくて困っています。
どなたか途中式も含めて解説していただけたら嬉しいです！！

0=4sin[3tan^-1{2tan^-1(x+7y/5)-6}]-5sin[6tan^-1{7tan^-1(x+3y/5)-4}]-5y
0=7・4sin[3tan^-1{2tan^-1(x+7y/5)-6}]+3・5sin[6tan^-1{7tan^-1(x+3y/5)-4}]

よろしくお願いします！！

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

みごとに、勘定違いしてました。 ← #2

>元の式の吟味を怠っているのが敗因でしょう。

加算法を用いて atan の階段を登る手はありそう。

　6 = tan(5.992) を使えば、
　atan(x+7y/5) - 6 = atan(x+7y/5) - atan(5.992)
　= atan[(x+7y/5 - 6)/{1 + 6(x+7y/5)}]

同様に、atan の自然数倍は x, y の高次有理式の atan を生成する。

…当方に完遂する暇はないが、いかが？

お礼

ありがとうございます！！

加算法と不動点収束をいまいち理解していないので、その２つについてわかりやすく説明してくれたら嬉しいです！！

回答No.4

178-tall

訂正。

　5.992 = tan(6) を使えば、
　atan(x+7y/5) - 6 = atan(x+7y/5) - atan(5.992)
　= atan[(x+7y/5 - 5.992)/{1 + 5.992(x+7y/5)}]

なのでしょうかネ？

回答No.2

178-tall

確かに「不可解度」の高い連立式。

　u = 4*sin[3*atan{2*atan(x+7y/5) - 6}]
　v = 5*sin[6*atan{7*atan(x+3y/5) - 4}]

題意より、
　v = (-7/3)u
のはずなので、上式は、
　y = (2/3)*u　　　…(*)
ですが、u が y を含むため難解。

x を勝手に与えて、(*) の y について「不動点収束」させてみると、収束はしてくれるものの、v = (-7/3)u から外れてしまいます。勝手に与えていた x を変えていくと、解らしきものは得られるけど、チョイとやっただけで 2 つ出ました。
　{x = 0.10277, y = 1.82413},　{x = -0.21346, y = 2.88184}

元の式の吟味を怠っているのが敗因でしょう。
atan の中にまた atan という尋常ならぬ算式なので、あまり意欲は湧きませんネ。

回答No.1

alice_44

0 = 4p - 5q - 5y,
0 = 28p + 15q,
p = sin[3tan^-1{2tan^-1(x+7y/5)-6}],
q = sin[6tan^-1{7tan^-1(x+3y/5)-4}].
かあ、すごい式だねえ。
p, q の式に含まれる tan^-1{tan^-1 の一次式}
という形が凶悪で、何の式変形もPできないし、
第一式の -5y もタチが悪い。
厳密解は、無理なんじゃないの？

近似解を求めるなら、ニュートン法でも使おう。
ベクトル (x, y) を u、
ベクトル場 (4p - 5q - 5y, 4p - 5q - 5y) を v、
v のヤコビ行列
　　∂(4p - 5q - 5y)/∂x　　∂(4p - 5q - 5y)/∂y　　
　　∂(28p + 15q)/∂x　　　　∂(28p + 15q)/∂y　　　　
を H と置き、
(次のu) = u - (H^-1)v で、飽きるまで漸化する。

お礼

ありがとうございます！！