等式変形が解決できません。ヘルプです。

質問

<問題>
a + b + c = 2、ab +bc + ca =ー2、a^3+b^3+c^3=8 であるとき、abcの値を求めよ。
<私の行き止まり>
abc=(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) / 2
の段階で、その後を処理できません。
　a + b + c = 2 を3乗したりしましたが、恥ずかし長らく解けません。教えて下さい。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

a,b,cは3次方程式
(x-a)(x-b)(x-c)=0
の3つの解であるから
(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
a+b+c=2, ab+bc+ca=-2より
x^3-2x^2-2x-abc=0
解x=a, x=b, x=cを代入
a^3-2a^2-2a-abc=0
b^3-2b^2-2b-abc=0
c^3-2c^2-2c-abc=0
3つの式を加える
a^3+b^3+c^3-2{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)-3abc=0
a+b+c=2, ab+bc+ca= -2, a^3+b^3+c^3=8 を代入
8-2(4+4)-4-3abc=0
3abc=-12
abc=-4 ... (Ans.)

お礼

助かりました。3次方程式の解からとらえるのは思いつきませんでした。ありがとうございます。
　途中の計算式もとても分かりやすく、40年ぶりの高校数学に少しは覚醒することができたかもしれません。(笑)
　簡単ですが、これにて失礼します。