数学の問題

質問

高校の宿題の問題です。
aの４乗＋bの４乗＋cの４乗はどのようにして解くのですか？ちなみに、a＋b＋c＝2,ab＋bc＋ca＝－5,abc＝－6という条件付きです。途中式など書いていただけるとありがたいです！
わからなくて、とても困っています。
どなたか、教えてください！

回答No.6

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは、No3です。

　　わかりにくい部分は、文字を置き換えましょう。

　　応用する式は、文字を変えますが、

　　　（x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx という展開公式を　変形して得られる

　　　　　　　　　　　x^2+y^2+z^2　＝　（x+y+z)^2 ー（2xy+2yz+2zx）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　（x+y+z)^2 ー2(xy+yz+zx)　　　(1)

　　ですね。　x=a^2 , y=b^2, z=c^2 　とおけば、

a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2 - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

ここで　右辺の第一項は　再びそのまま　(1)が使えます。

　　　　　　　　　　右辺の第二項は、カッコ内が　ab=A, bc=B, ca=C とおくと　

A^2+B^2+C^2 の形ですから、またまた　(1)　が使えます。

　　　こうして右辺第一項は　
　　　　カッコ内　が　（a+b+c)^2 ー2(ab+bc+ca) 　でそのまま条件の値が代入できます

　　　がら　その値の二乗になります。

　　　右辺の第２項は、

　　　　(ab+bc+ca)^2 - 2(abbc+bcca+caab) = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(b+c+a)

となって、条件の値が代入できますね。

　　めでたしめでたし・・・・・

　　数の代入計算は御自分でしてください。

　　　繰り返しになりますが、形を見極めて、ややこしいところは、別の文字に置き換えてみる・・・・・

　　これも「難しいものを易しいほうに持っていく。」という原則ですね。

　　この解き方の方向をマスターしましょう。

　　言い換えると、知らない形を知っているまたはもう習った形に比べて、何か置き換えをしてみたら、易しいほうに向かうことになります。

お礼

ありがとうございました！
解くことができました！
本当にありがとうございました！

回答No.5

Tacosan

ついでに.

「解く」というのは, 方程式や不等式が与えられたときに, その方程式・不等式にふさわしいものを求める行為を意味します. そして, 「a^4+b^4+c^4」はただの式であって方程式でも不等式でもありません. つまり, 「aの４乗＋bの４乗＋cの４乗はどのようにして解くのですか」というのは, 数学における表現として間違っています.

a^4+b^4+c^4 の値を求める
のように, 「正確な表現」を心掛けてください.

お礼

教えて頂いてありがとうございます。
気づいておりませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

a, b, c を求めて代入する.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

mnakauye

こんにちは、

　数学のとき方は基本的な考え方があります。

難しい問題を、易しい問題に置き換えていくというやり方です。

これは数学のどの分野でもそうなのです。

　さて、問題は4次式だから、これをおきかえて4次式で無い部分を作ります。

4次式＝2次式の二乗　と考えるのです。

　このとき、この問題は、さらに　ａ、ｂ、ｃの対称式であるということにも注意を払います。

　3つの文字の２乗の式で、使えそうなものを考えるのです。

　　aの２乗＋bの２乗＋cの２乗　と関係するのは

　　（a+b+c)２乗=a２乗+b２乗+c２乗+2ab+2bc+2ca

なので、a２乗+b２乗+c２乗＝（a+b+c)２乗-（2ab+2bc+2ca）

　　　これを　aの４乗＋bの４乗＋cの４乗　に応用すれば、

　　　　aの４乗＋bの４乗＋cの４乗＝（a２乗+b２乗+c２乗）２乗ー２（a~2b^2+b~2c^2+c^2a^2）

　　　　とみごとに、２乗のかたちになります。

　　　これで、右辺のカッコ内それぞれにもう一度上の式を応用すれば、それぞれ一次式の２乗の形に持っていけますね。

　　とき方の方向性をつかんでくださいね。

　　ここから先は自分でやってみましょう。途中でわからなければ、またそこを質問してね。

お礼

詳しい回答ありがとうございました！
もう一度、質問聞いていただけるとありがたいのですが…
お願いします。

補足

回答ありがとうございます！もう一度質問聞いていただけますか？
aの４乗＋bの４乗＋cの４乗に応用したときに、引く値の部分の式がよくわかりません。
2a2乗b2乗＋2b2乗c2乗＋2a2乗c2乗をひくということですか？
その部分がよくわからなかったので、もう一度教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

staratras

宿題ならばヒントだけ。（a^2はaの2乗の意味です）

この問題で、a^4+b^4+c^4を求めようとして、
いきなり(a+b+c)^4を計算しようとするとうまくいきません。
できないことはないが、計算力がないと収拾がつかなくなるでしょう。
以下の４段階作戦を考えると効率的でしょう。
「困難は分割せよ」というのが教訓かもしれません。

１、a^4+b^4+c^4をa^2+b^2+c^2とa^2・b^2+b^2・c^2+c^2・a^2で表せないか？できる。

２、a^2+b^2+c^2を与えられたa+b+c,ab+bc+caの値から求められないか？できる。

３、a^2・b^2+b^2・c^2+c^2・a^2を与えられたa+b+c,ab+bc+ca,abcの値から求められないか？できる。

４、１，２，３を組み合わせればa^4+b^4+c^4が計算できる。

では、やってみましょう。

お礼

ありがとうございました！
課題テストがあるので本当に助かりました！