高一の因数分解の問題4問

質問

タイトルの通り高一の因数分解の問題です。自力で解いてみたのですが、うまくいきません。
アドバイス＆回答願います。けっして、大学入試のテスト中に投稿したものではありません。

問１

a2乗(b+c)+b2乗(c+a)+c2乗(a+b)+3abc
自分は一度展開して、aについて整理してみたのですが、(a+b)(b+c)(c+a)+abcとなってしまいました。
ちなみに、正解は、(a+b+c)(ab+bc+ca)となってますが、正答へのたどりつき方が分からないです。

問２

a3乗(b-c)+b3乗(c-a)+c3乗(a-b)
自分は途中でわけがわからなくなり、リタイア。
途中に、(b-c)(a3乗-ab2乗-abc-ac2乗+b2乗c-bc2乗)となったのですが、
この途中計算が間違っているのかもしれないです。
正解は、-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)です。ぜんぜん違いました。

問３

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc
これは問１に似た問題で、問１よりはできた気がしますが、
正答へはまだまだです。
自分は途中式で、a2乗ｃ+(b+c)(ab+bc+ca)となりました。
正解は問１とまったく同じです。

問４
a(b-c)3乗+b(c-a)3乗+c(a-b)3乗
これは問２の類題で、問２同様わけがわからずリタイア。
途中式で、-a3乗(b-c)+a(b3乗-c3乗)-bc(b2乗-c2乗)となりましたが、
正答は(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)となってます。

すみませんが、ご回答お願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

問１
(a~2)(b+c)+(b~2)(c+a)+(c^2)(a+b)+3abc
=(a~2)(b+c)+(b~2+c^2+3bc)a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}+bc(b+c)
たすき掛け法を適用
={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

問２
(a^3)(b-c)+(b^3)(c-a)+(c^3)(a-b)
=(b-c)(a^3)+(c^3-b^3)a+bc(b^2-c^2)
=(b-c)(a^3)-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b-c)(b+c)
=(b-c){a^3-ab^2-c(b+c)a+bc(b+c)}
=(b-c){a(a+b)(a-b)-c(b+c)(a-b)}
=(b-c)(a-b){a^2+ab-c(b+c)}
=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)

問３
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc
=(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)
たすき掛け法を使って
={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}
=(ab+bc+ca)(a+b+c)

問４
a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3
a=b,b=c,c=aとおくと全て＝0となるので(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れることが分かる。
これを意識して式を展開しながら因数分解していく。
=a(b-c)^3+b(c^3-3ac^2+3ca^2-a^3)+c(a^3-3ba^2+3ab^2-b^3)
=a(b-c)^3+(c-b)a^3+3bc(b-c)a+bc(c^2-b^2)
=(b-c){a(b^2+c^2-2bc)-a^3+3abc-bc(b+c)}
{ }内をbについて整理
=-(b-c){(a-c)b^2+(a-c)cb+a(c^2-a^2)}
=(b-c)(c-a){b^2+bc-a(a+c)}
=(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

回答No.6

mister_moonlight

問1　で書き込みミス、訂正して。

(正)　
m＝ab＋bc＋ca、abc＝n　とすると、a、b、cは　3次方程式：t＾3-xt＾2+mt-n＝0の3つの解。
従って、t＾3＝xt＾2-mt＋n＝0であるから、a＾3＝xa＾2-ma＋n＝0

回答No.5

mister_moonlight

そんなにやさしくはない問題だ。
対称式と交代式の知識があると、わかりやすいだろう。

http://search.yahoo.co.jp/search?p=%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BC%8F%E3%81%A8%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%BC%8F&search.x=1&fr=top_ga1_sa&tid=top_ga1_sa&ei=UTF-8&aq=&oq=

問2　が一番簡単のようだ。

前の2項を展開すると、a-b　が共通因数だから、全体としても共通因数。
そこで　a-b　を外に出すと、aにそろえると　今度は　b-c が共通因数になる。ここまで来れば、続きはできるだろう、
但し、交代式である事がわかってるから、最終的に　(a-b)*(b-c)*(c-a)が共通因数だと、わかってると計算は速い。

問1、3、4　を方程式の考え方を使って解いてみよう。

問1
x＝a＋b＋c　とすると、a＋b＝x-c、b＋c＝x-a、c＋a＝x-b　である。
m＝ab＋bc＋ca、abc＝n　とすると、a、b、cは　3次方程式：t＾3-xt＾2+yt-n＝0の3つの解。
従って、t＾3＝xt＾2-yt＋n＝0であるから、a＾3＝xa＾2-ya＋n＝0　。これは、bとcについても同じことが言える。よって、a＾3＋b＾3＋c＾3＝x(a＾2＋b＾2＋c＾2)-m(a＋bc＋)+3n
a＾2(b+c)+b＾2(c+a)+c＾2(a+b)+3abc＝a＾2(x-a)+b＾2(x-b)+c＾2(x-c)+3abc＝x(a＾2＋b＾2＋c＾2)-(a＾3＋b＾3＋c＾3)+abc＝x(a＾2＋b＾2＋c＾2)-x(a＾2＋b＾2＋c＾2)＋m(a＋b＋c)-3n+3n＝m(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)

問3

x＝a＋b＋c　とすると、a＋b＝x-c、b＋c＝x-a、c＋a＝x-b　である
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc＝ab(x-c)＋bc(x-a)＋ca(x-b)+3abc＝x(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)

問4

b-c＝x、c-a＝y、a-b＝z　とすると、x+y+z=0だから、xy＋yz＋zx＝m、xyz＝nとすると　x、y、z は　t＾3＋mt-n＝0の3つの解。
t＾3＝mt-n　だから、x＾3＝-mx＋n　これは、yとzについても同じことが言える。
a(b-c)＾3+b(c-a)＾3+c(a-b)＾3＝a(-mx＋n)＋b(-my＋n)＋c(-mz＋n)＝n(a+b+c)-m(ax+by+cz)
ところが、実際に計算すると、ax+by+cz＝　だから、a(b-c)＾3+b(c-a)＾3+c(a-b)＾3＝n(a+b+c)＝(b-c)*(c-a)*(a-b)*(a+b+c)

回答No.3

masatonya

三問目は式を展開して整理すると一問目の途中式と同じ式ができます。
4問目はちょっと分かりません><

回答No.2

masatonya

二問目ですが、式変形して
a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2)
因数分解して変形すると
(b-c)(a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2)
=(b-c){a(a+c)(a-c)-b^2(a-c)-bc(a-c)}
となり、次はa-cについて整理します。この作業を続けると答えにたどりつけます。

回答No.1

masatonya

とりあえず問１から
まずaについて整理すると
a^2(b+c)+a(b^2+3bc+c^2)+bc(b+c)になりますね。
ここでたすき掛けを使うと
　１　　bc
×
b+c b+c
よって(a+b+c){(b+c)a+bc)になり、答えどうりになります。