にゃんこ先生の自作問題、4実数a,b,c,dとその基本対称式の符号の可能性

質問

にゃんこ先生といいます。

3実数a,b,cと、基本対称式a+b+c,ab+bc+ca,abcにおいて、その符号の可能性を下のように調べました。
a,b,cの符号が分かると、abcの符号は一通りに決まるので、それは省略します。

a>0,b>0,c>0ならばa+b+c>0,ab+bc+ca>0
a>0,b>0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca>0の例:a=3,b=3,c=-1
a>0,b>0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca<0の例:a=1,b=1,c=-1
a>0,b>0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca<0の例:a=1,b=1,c=-3
a>0,b>0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca>0はありえない。
a>0,b<0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca>0はありえない。
a>0,b<0,c<0でa+b+c>0,ab+bc+ca<0の例:a=3,b=-1,c=-1
a>0,b<0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca>0の例:a=1,b=-3,c=-3
a>0,b<0,c<0でa+b+c<0,ab+bc+ca<0の例:a=1,b=-1,c=-1
a<0,b<0,c<0ならばa+b+c<0,ab+bc+ca>0

では、4実数a,b,c,dと、基本対称式a+b+c+d,abc+abd+acd+bcd,ab+ac+ad+bc+bd+cd,abcd(これは省略する)において、その符号の可能性はどうなるのでしょうか？

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
として、
f'(0) = ab+ac+ad+bc+bd+cd
f''(0) = 2(abc+abd+acd+bcd)
…
とかを考えるか。
逆に、
g(x) = x^4 + αx^3 + βx^2 + γx + δ
が４つの実数解をもつ条件を考えるのか。
もっと頭いい方法がある気もします。