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にゃんこ先生の自作問題、基本対称式が正なら元の数も正か?

にゃんこ先生といいます。 2実数a,bがあるとします。 基本対称式a+b,abがすべて正であれば、a,bはすべて正であることがわかります。 3実数a,b,cがあるとします。 基本対称式a+b+c,ab+bc+ca,abcがすべて正であれば、a,bはすべて正であることもわかります。 ここまでは確かめました。 次に、4実数a,b,c,dがあるとします。 基本対称式a+b+c+d,abc+abd+acd+bcd,ab+ac+ad+bc+bd+cd,abcdがすべて正であれば、a,b,c,dはすべて正なのでしょうか? さらに、そのn変数のときはどうなるのでしょうか? 計算では手に負えなくて、別の考えがいりそうなのですが、わからないです。

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解と係数の関係から、 n変数の基本対称式が全て正であれば、そのn変数は、 係数が正な奇数次項の和 = 係数が正な偶数次項の和 という形の n次方程式の解となります。 式形を見れば、負数を代入して成立しないのは明らか ですね。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 貴殿のすばらしいアイデアに感動いたしました。

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こんばんは。 帰納法で証明できるような気がします。 命題P(n)を以下で定義します。 P(n):n個の実数からなる基本対称式が全て正ならば、もとの実数も全て正 n=1のときは自明。 一般のnについて 与えられたn個の実数を解に持つn次方程式を考える。それを Q(x)=0 とする。 このとき、係数に基本対称式が現れる。 関数y=Q(x)を考える。 Q(x)=0は重複をこめてn個の実数解を持つから、その導関数はn-1個の実数解を持つ。 このことから導関数に帰納法の仮定が使え、導関数=0の解が全て正となる。 このことからもとの方程式の解も全て正であることがわかると思います。 ところどころちゃんと考えてないところがありますが、こんな感じでいけそうな気がするので参考にしてください。 もし間違いがあれば補足欄にお願いします。

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