対称式について

質問

数学の対象式について質問です。

　　a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc

という対称式を、３文字の基本対象式である

　　a+b+c
　　ab+bc+ca
　　abc

で示すとどのようになりますか？
ちなみに、問題自体は「因数分解せよ。」というもので

　　(a+b)(b+c)(c+a)

が答えでした。
気になって計算してみたのですが、どうしても示すことができなかったので質問しました。
よろしくお願いします。

回答No.2

puusannya · ベストアンサー

因数分解と関係なくただ表すだけでいいのなら、

ａ＋ｂ＋ｃ＝l
ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ｍ
ａｂｃ＝ｎ　
とおいて

ａ＋ｂ＝lーｃ、ｂ＋ｃ＝lーａ，ｃ＋ａ＝lーｂ
を因数分解できた式に代入して展開すればすれば
ｌｍ－ｎとなりますので
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－ａｂｃ
とは出ますが。

こんなやり方ではだめなのでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、こう示せるんですね。
すっきりしました。

回答No.6

noname#130496

失礼、脱字です。
「3文字の基本対称式を使って表すとどうなるか」

回答No.5

noname#130496

#1に補足

#1は与式の因数分解のための方針ではありません。
あくまで質問者の質問「3文字の対称式を使って表すとどうなるか」に答えたものです。

回答No.4

WiredLogic

#1さんや#3さんのように、変形の方向に気づいて、うまく分けると、すばやくできますが、
高校の教科書的に、確実に答えにたどりつく方法とならば、１つの文字について整理、
という手があります。

aについて、整理すると、全体はaの２次式で、

与式 = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2*c+bc^2)
= (b+c)a^2 + (b+c)^2 *a + bc(b+c)
= (b+c){a^2 + (b+c)a + bc}

{～}のところは、さっと、公式がみえるか、たすきがけができるかすれば、
{}内 = (a+b)(a+c)

もしもできないときは、b,cについては１次式なので、bについて整理すると、
{}内 = b(a+c) + (a^2 + ac) = b(a+c) + a(a+c) = (b+a)(a+c)

なので、どちらにしても(違ってたら、どっかミスってる訳ですが^^)
与式 = (a+b)(b+c)(c+a)

文字が２つ以上のときは、とりあえず、整理、というのは、
応用範囲が広いので、しっかり覚えておいてください。

やや上級者向ですが、対称式の性質がよく理解できていれば、
因数・(b+c)が出てきた途端に、対称性から、(c+a),(a+b)という因数もあって、
これらをかけたら３次式、で、元の式も３次式だから、
あとは、ついても、符号と係数だけ、と考えて、それだけをチェック
という方法もあります。この問題くらいでは、そんなに手は抜けませんが、
もっと複雑な計算のときには、劇的に時間短縮できることもあります。

お礼

> 因数・(b+c)が出てきた途端に、対称性から、(c+a),(a+b)という因数もあって

なるほど、そういう考え方もあるんですね。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.3

tomokoich

a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc-->(a+b)でくくれるように項を分けます
=ab(a+b)+c^2(a+b)+c(a^2+2ab+b^2)
=ab(a+b)+c^2(a+b)+c(a+b)^2
=(a+b)(ab+c^2+ca+cb)--->(a+b)でくくります
=(a+b)(b(c+a)+c(c+a))
=(a+b)(b+c)(c+a)

になります

お礼

「１文字について整理」という方法を使ってきましたが、はじめから(a+b)でくくれるように変形していく発想はありませんでした。

今度から意識して問題を解いてみます。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#130496

どうやっても辿り着けるけど、x=a+b+cとしてa+b=x-c, b+c=...と書き換える所から始めるといいかも。

お礼

回答ありがとうございます。

他の問題にもその手法を用いて練習をしてみようと思います。