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対称式について

数学の対象式について質問です。   a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc という対称式を、3文字の基本対象式である   a+b+c   ab+bc+ca   abc で示すとどのようになりますか? ちなみに、問題自体は「因数分解せよ。」というもので   (a+b)(b+c)(c+a) が答えでした。 気になって計算してみたのですが、どうしても示すことができなかったので質問しました。 よろしくお願いします。

noname#129865
noname#129865

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2

因数分解と関係なくただ表すだけでいいのなら、 a+b+c=l ab+bc+ca=m abc=n  とおいて   a+b=lーc、b+c=lーa,c+a=lーb を因数分解できた式に代入して展開すればすれば lm-nとなりますので =(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc とは出ますが。 こんなやり方ではだめなのでしょうね。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 なるほど、こう示せるんですね。 すっきりしました。

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その他の回答 (5)

  • 回答No.6
noname#130496
noname#130496

失礼、脱字です。 「3文字の基本対称式を使って表すとどうなるか」

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  • 回答No.5
noname#130496
noname#130496

#1に補足 #1は与式の因数分解のための方針ではありません。 あくまで質問者の質問「3文字の対称式を使って表すとどうなるか」に答えたものです。

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  • 回答No.4

#1さんや#3さんのように、変形の方向に気づいて、うまく分けると、すばやくできますが、 高校の教科書的に、確実に答えにたどりつく方法とならば、1つの文字について整理、 という手があります。 aについて、整理すると、全体はaの2次式で、 与式 = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2*c+bc^2) = (b+c)a^2 + (b+c)^2 *a + bc(b+c) = (b+c){a^2 + (b+c)a + bc} {~}のところは、さっと、公式がみえるか、たすきがけができるかすれば、 {}内 = (a+b)(a+c) もしもできないときは、b,cについては1次式なので、bについて整理すると、 {}内 = b(a+c) + (a^2 + ac) = b(a+c) + a(a+c) = (b+a)(a+c) なので、どちらにしても(違ってたら、どっかミスってる訳ですが^^) 与式 = (a+b)(b+c)(c+a) 文字が2つ以上のときは、とりあえず、整理、というのは、 応用範囲が広いので、しっかり覚えておいてください。 やや上級者向ですが、対称式の性質がよく理解できていれば、 因数・(b+c)が出てきた途端に、対称性から、(c+a),(a+b)という因数もあって、 これらをかけたら3次式、で、元の式も3次式だから、 あとは、ついても、符号と係数だけ、と考えて、それだけをチェック という方法もあります。この問題くらいでは、そんなに手は抜けませんが、 もっと複雑な計算のときには、劇的に時間短縮できることもあります。

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質問者からのお礼

> 因数・(b+c)が出てきた途端に、対称性から、(c+a),(a+b)という因数もあって なるほど、そういう考え方もあるんですね。 詳しい解説ありがとうございました。

  • 回答No.3

a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc-->(a+b)でくくれるように項を分けます =ab(a+b)+c^2(a+b)+c(a^2+2ab+b^2) =ab(a+b)+c^2(a+b)+c(a+b)^2 =(a+b)(ab+c^2+ca+cb)--->(a+b)でくくります =(a+b)(b(c+a)+c(c+a)) =(a+b)(b+c)(c+a) になります

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質問者からのお礼

「1文字について整理」という方法を使ってきましたが、はじめから(a+b)でくくれるように変形していく発想はありませんでした。 今度から意識して問題を解いてみます。 ありがとうございました。

  • 回答No.1
noname#130496
noname#130496

どうやっても辿り着けるけど、x=a+b+cとしてa+b=x-c, b+c=...と書き換える所から始めるといいかも。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 他の問題にもその手法を用いて練習をしてみようと思います。

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